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1、2020-2021学年广西壮族自治区防城港市火光农场中学高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 完成下列两项调查：从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（ ） A简单随机抽样，系统抽样 B分层抽样，简单随机抽样C系统抽样，分层抽样 D都用分层抽样参考答案：B是由差异明显的几部分组成，适用于分层抽样，而总体中的个体性质相似，样本容量较小，适用于简单随机抽样。
2、2. 若集合且，则集合可能是（ ）A. B. C. D.参考答案：A3. 下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确的个数有参考答案：2略4. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ）AB C8D-8参考答案：B略5. 不等式2x2x10的解集是（）A（，1）B（1，+）C（，1）（2，+）D（，）（1，+）参考答案：D【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x1）0x1或
3、x故选：D6. 已知全集U=R，集合A=x|2x1，B=x|x23x40，则ACUB=( )Ax|0x4Bx|0x4Cx|1x0Dx|1x4参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】利用全集U=R，B=x|x23x40，先求出CUB=x|1x4，再由集合A=x|2x1，求出集合ACUB【解答】解：全集U=R，集合A=x|2x1=x|x0，B=x|x23x40=x|x4或x1，CUB=x|1x4，ACUB=x|0x4故选B【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7. 已知=（2，1），=（k，3），=（1，2），若（2），则|=（）A
4、BCD参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】求出向量2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可【解答】解： =（2，1），=（k，3），=（1，2），2=（22k，7），（2），可得：22k+14=0解得k=6，=（6，3），所以|=3故选：A8. 函数是上的可导函数,时，则函数的零点个数为 （ ）A B C D参考答案：D9. 在ABC中，若，则C=（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 120参考答案：D10. 若不重合的四点，满足，则实数的值为A、 B、 C、 D、（）参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题
5、4分,共28分11. 如图，在长方形ABCD- A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则等于_参考答案：1【分析】选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算【详解】由题意故答案为1【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算12. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是_ 参考答案：13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖的块数是 _._. 参考答案：将第n个图案先看做是n个第1个图案，则共有6n个白色图案，再结合
6、第n个图案，可知共有6n-2(n-1)=4n+2个白色图案。14. 设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数 * .参考答案：2略15. 已知函数，则函数在处的导数参考答案：略16. 已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： +=1（ab0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），则kPM?kPN=类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：=1（a0，b0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），双曲线的离心率e=，则kPM?kPN等于参考
7、答案：4【考点】椭圆的简单性质【分析】设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），且，又设点P的坐标为（a，0），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式即可【解答】解：M，N是双曲线C：=1（a0，b0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN）设设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），则，即n2=，又设点P的坐标为（a，0），由kPM=，kPN=，kPM?kPN=（e21）（常数）双曲线的离心率e=时，则kPM?kPN等于4故答案为：417. 若行列式=0，则x= 参考答案：2或3【考点】三阶矩阵 【专题】
8、计算题；函数的性质及应用【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式，即可求得结论【解答】解：由题意，2+4=0x2+x6=0x=2或3故答案为：2或3【点评】本题考查三阶行列式，考查学生的计算能力，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，且（I）求角C；（II）求ABC的面积S的最大值，并判断此时ABC的形状参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据ABC的面积S=absinC
9、，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时ABC的形状【解答】解：向量，且（I），sin2Asin2C=（ab）sinB由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，a2c2=（ab）b由余弦定理：cosC=0C，C=（II）ABC的面积S=absinC，C=，R=，c=2RsinC=由余弦定理：得a2+b2=6+aba2+b22ab，（当且仅当a=b是取等）ab6故得ABC的面积S=absinC=C=，a=b此时ABC为等边三角形19. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2（）求椭圆的方程；（）设直线过且与椭圆相交于A，B两点
10、，当P是AB的中点时，求直线的方程参考答案：解：设椭圆方程为（）由已知可得 所求椭圆方程为 20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，为的中点(1) 求证：；(2) 求证：；(3) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积参考答案：（2），为中点， 4分连，在中，为等边三角形，为的中点，, 5分,平面,平面 ,(三个条件少写一个不得该步骤分) 6分平面. 7分（3）连接,作于. ,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， , , . , 又,. 在菱形中，,方法一:, . 12分方法二:， , 12分略21. 己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（）试求椭圆的标准方
11、程：（）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求NAB的面积的最大值参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（）设过焦点F1的直线为l，分两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到S2=6（1）2（1），构造函数f（t）=6（1t）2（1t2），利用导数求出函数的最值，问题得以解决【解答】解：（）设椭圆的半焦距为c，则c=1，又e=，可解得a=，b2=a
12、2c2=2，椭圆的标准方程为+=1；（）设过焦点F1的直线为l，若l的斜率不存在，则A（0，），B（0，），即|AB|=2，显然当N在短轴顶点（0，）或（0，）时，NAB的面积最大，此时，NAB的最大面积为2=若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去y整理得：（2k2+3）x2+4kx4=0，x1+x2=，x1x2=，则|AB|=|x1x2|=，当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线l：y=kx+m，（m），联立方程：，消去x整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m26=0，由=（4km）24（2k2+3）（2m26）=0，解得m2=2k2+3，（m），又点N到直线l的距离d=，S=d|AB|=，S2=6（1）2（1），令t=（，0）设f（t）=6（1t）2
