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1、 学科网（北京）股份有限公司 专题23解三角形应用-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力1正余弦定理在应用题中的应用 2能准确地建立数学模型，并能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学及几何计算有关的实际问题二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容预计2022年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.三、自主梳理1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问
2、题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2 实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图)(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(4) 坡度，即坡角的正切值四、高频考点+重点题型考点一、三角形数学文化题例1.（2021山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中
3、国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3的近似值为（ ）(取近似值3.14)A0.012B0.052C0.125D0.235 对点训练1.（2021辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）ABCD
4、 对点训练2.（2021浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则_. 对点训练3.（2021全国高考真题（理）魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）A表高B表高C表距D表距 考点二、平面图形的实际应用例2. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，
5、被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径大小为 对点训练1.（2021永丰县永丰中学）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距的两点A，B处分别测得，则间的距离为_. 对点训练2.（2021合肥一六八中学高三其他模拟（文）“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条
6、件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组和；和；和A0B1C2D3 考点三、立体图形的实际应用 例3.（2021全国高考真题（理）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A346B373C446D473 对点训练1.（2021黑龙江哈尔滨市哈尔滨
7、三中高三其他模拟（理）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，其中到的距离比到的距离远40米地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）A210米B米C米D420米 对点训练2.（2021山东省青岛第一中学）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ）A米B米C米D米 对点训练3.（2021北京高三其他模拟）魏晋南北朝(公元)时期，中国数学在测量
8、学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为海岛算经受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高_米，前表去塔远近_米. 考点四、与速度有关的实际应用题 例4.（高考真题）如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15方向200km的海面P处，并以10km/
9、h的速度向北偏西75方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）？ 对点训练1.（2021四川成都市成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（ ）A15米/秒B15米/秒C20米/秒D20米/秒 对点训练2. 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线
10、步行到C现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则sinBAC等于 巩固训练1 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45就可以计算出A，B两点的距离为_A20 mB30 mC40 mD50 m22021合肥一六八中学高三其他模拟（文）南宋数学家秦九韶著有数书九章，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”世界各国从小
11、学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为_3 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile此船的航速
12、是_n mile/hA16B32C64D1284 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时ABCD15 在ABC中，若，则ABC的形状是_A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形6 如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67，30，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约为_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67092，sin6
13、7039，sin37060，sin37080，173)A46B50C54D607 某小区有一个四边形草坪ABCD，BC120，AB40 m，BCCD20 m，则该四边形ABCD的面积等于_m2 8 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km 9 如图，一栋建筑物的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_ m10如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7) 学科网（北京）股份有限公司
