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1、 学科网（北京）股份有限公司 专题19三角恒等变换公式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。能运用上述公式进行简单的恒等变换。二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.三、自主
2、梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()cos cos sin sin C()cos()cos cossin sinS()sin()sin coscos sinS()sin()sincoscos sinT()tan()；变形：tan tan tan()(1tan tan )T()tan()；变形：tan tan tan()(1tan tan )2.二倍角公式S2sin 22sin_cos_；变形：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2C2cos 2cos2sin22cos2112sin2；变形：cos2，sin2T2tan 2 四、高频考点+重点
3、题型考点一、两角和差的正弦余弦正切公式例1-1（公式逆用）设acos 50cos 127cos 40cos 37，b(sin 56cos 56)，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCcab Dacb【答案】D【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127)cos(77)cos 77sin 13，b(sin 56cos 56)sin 56cos 56sin(5645)sin 11，ccos239sin239cos 78sin 12.因为函数ysin x，x
4、0，为增函数，所以sin 13sin 12sin 11，所以acb。 例1-2（公式正用）（2021安徽高三其他模拟（文）已知，为锐角，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以.所以，又，则.故选：C.对点训练1.(2020全国卷)已知2tan tan7，则tan ()A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】由已知得2tan 7，解得tan 2.对点训练2(2020全国卷)已知sin sin1，则sin()A. B.C. D.【答案】B【解析】sin sinsin cos sin1，sin，故选B.对点训练3.（2021广东高三其他模拟）
5、我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则_.【答案】【解析】根据题意得到，结合两角差的正切公式，即可求解.【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，所以.故答案为：. 例1-3（角的变换）（2021湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由正切的二倍角公式求得，再由可求.【详解】因为，所以.故选：A.对点训练1.（2
6、019河南鹤壁高中高考模拟（文）平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，若，则为_【答案】【解析】由题意知：，由，得， ，故答案为：.例1-4（变形用）（1）（2021贵溪市实验中学高二期末）的值是_.（2）已知sin cos ，则cos sin 的取值范围_【答案】 【答案】，【解析】（1）由进行转化，可得答案.【详解】解：由故答案为：.（2）【解析】由题知sin cos ，设cos sin t，得sin cos cos sin t，即sin()t，得sin cos cos sin t，即sin()t.1sin()1，t.对点训练1.（2021高唐县第一中学高一月考）已知，则的值为（
7、）ABCD【答案】B【解析】由，联立方程组，可得，又由.对点训练2.（2021福建省南安市侨光中学）在中，下列各式正确的是( )ABCD【答案】CD【解析】，选项A，B错误；，又，联立解得，故选项C，D正确:考点二、二倍角公式例2-1（正用和逆用）（2021江苏淮安市高三三模）设，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.【详解】因为，所以有，即，所以；因为，而，所以有，所以，即；因为，而所以；显然，而，所以，即所以故选：D对点训练1.(
8、2020全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin ()A.BC. D.【答案】A【解析】3cos 28cos 5，3(2cos21)8cos 5，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去)(0，)，sin .故选A.例2-2（降次公式）已知为第三象限角，且sin222cos 2，则sin的值为()A B.C D.【答案】D【解析】sin222cos 2sin222(12sin2)sin ，由为第三象限角，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos ，cos 212sin2，所以sin(sin 2cos 2).对点训练1.已知A，B均为钝角，sin
9、2cos，且sin B，则AB()A. BC. D【答案】C【解析】因为sin2cos，所以cos Asin A，即sin A，解得sin A.因为A为钝角，所以cos A .由sin B，且B为钝角，可得cos B .所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B都为钝角，即A，B，所以AB(，2)，故AB.故选C.考点三、公式的综合应用例3-1（給值求值）（2019江苏高考真题）已知，则的值是_.【答案】.【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上， 例3-2（给角求值）答案：4 解析：4例3-3（给值求角）已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值
10、答案：解析：tan tan()0，00，02，tan(2)1tan 0，20，2例3-4（化简解析式）设函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.【解析】(1)f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin，因为图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1时，符合要求，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)因为f0，所以2sin0，则.所以f(x)2sin.由0x，知x，当x，即x0时，f(x)
11、取最小值1.当x，即x时，f(x)取最大值2.对点训练1.已知0，tan，cos()(1)求sin 的值； (2)求的值解析：(1)tan，tan ，由解得sin (2)由(1)知cos ，又0，(0，)，而cos()，sin() ，于是sin sin()sin cos()cos sin()又，对点训练2. 化简：sin 50(1tan 10)_答案：1解析：sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501 对点训练3.已知函数f(x)cos xsincos2x，xR(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解析：(1)由已知，有f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin所以f(x)的最小正周期T(2)由x得2x，则sin，即函数f(x)sin所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为对点训练4.(2019年高考全国卷文)函数的最小值为_【答案】【解析】，当时，故函数的最小值为
