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1、学习必备欢迎下载导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第21 题中的第2 步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) lim0 xafx及lim0 xag x；(2) 在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) 0；(3)limxafxlgx，那么limxafxg x=limxafxlgx。法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1)lim0 xfx及lim0 xg x；(2)
2、0A，f(x) 和 g(x) 在,A与,A上可导，且g(x) 0；(3)limxfxlgx，那么limxfxg x=limxfxlgx。法则 3 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) limxafx及limxag x；(2) 在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) 0；(3)limxafxlgx，那么limxafxg x=limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1 将上面公式中的xa，x换成x +，x - ，xa，xa洛必达法则也成立。2 洛必达法则可处理00，0，1，0，00，型。3 在着手求极限以前，
3、首先要检查是否满足00，0，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。学习必备欢迎下载4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数2( )1xf xexax。（1）若0a，求( )f x的单调区间；（2）若当0 x时( )0f x，求a的取值范围原解：（1）0a时，( )1xf xex，( )1xfxe.当(,0)x时，( )0fx；当(0 ,)x时，( )0fx.故( )f x在(,0)单调减少， 在(0,)单调增加（II）( )12
4、xfxeax由（ I）知1xex，当且仅当0 x时等号成立 .故( )2(12 )fxxaxa x，从而当120a，即12a时，( )0 (0)fxx，而(0)0f，于是当0 x时，( )0f x. 由1(0)xex x可得1(0)xex x.从而当12a时，( )12 (1)(1)(2 )xxxxxfxea eeeea，故当(0,ln 2 )xa时，( )0fx，而(0)0f，于是当(0,ln 2 )xa时，( )0f x. 综合得a的取值范围为1,2原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解 :（II）当0 x时，( )0fx，对任意实数a,均在( )0f x；当0
5、x时，( )0f x等价于21xxaex令21xxg xex(x0), 则322( )xxxxgxeex， 令220 xxh xxxxee， 则1xxhxxee，0 xhxxe，知hx在0,上为增函数，00hxh； 知h x在0,上为增函数，00h xh；0gx，g(x)在0,上为增函数。学习必备欢迎下载由洛必达法则知，200011222limlimlimxxxxxxxxeeex，故12a综上，知a的取值范围为1,2。2 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；（）如果当0 x，且1x时，ln( )1xkf xx
6、x，求k的取值范围。原解：（）221(ln)( )(1)xxbxfxxx由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（）由（）知ln1f ( )1xxxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2( )kxxh xx。（i） 设0k， 由222(1)(1)( )k xxh xx知， 当1x时，( )0h x， h （ x） 递减。而(1)0h故当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当 x
7、（1，+）时， h（x）0 从而当 x0,且 x1 时， f（ x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk. 学习必备欢迎下载（ ii ） 设0k0, 故h（x）0,而 h（1）=0，故当x（1，k11）时， h（x）0，可得211xh（x）0,而 h （1）=0，故当 x（1，+）时， h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。综合得， k 的取值范围为（-， 0 原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当0,1xx时， k1h=0 h x在0,上为增函数1h=0 当(0,1)x时，0h x，当 x（1，+）时，0h x当
8、(0,1)x时，0gx，当 x（1，+）时，0gxg x在0,1上为减函数，在1,上为增函数由洛必达法则知2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxg xxx0k，即k 的取值范围为（-，0 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出学习必备欢迎下载来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。自编 ：若不等式3sin xxax对于(0,)2x恒成立，求a的取值范围. 解：应用洛必达法则和导数当(0,)2x时，原不等式等价于3sinxxax. 记3sin( )xxf xx，则43si
9、ncos2( )xxxxfxx. 记( )3sincos2g xxxxx，则( )2cossin2gxxxx. 因为( )cossincos(tan)gxxxxx xx，( )sin0gxxx，所以( )gx在(0,)2上单调递减，且( )0gx，所以( )gx在(0,)2上单调递减，且( )0gx.因此( )g x在(0,)2上单调递减，且( )0g x，故4( )( )0g xfxx，因此3sin( )xxf xx在(0,)2上单调递减. 由洛必达法则有3200000sin1cossincos1lim( )limlimlimlim3666xxxxxxxxxxf xxxx，即当0 x时，1( )6g x，即有1( )6f x. 故16a时，不等式3sin xxax对于(0,)2x恒成立 . 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“00”型式子 .
