《高等数学竞赛试题及》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学竞赛试题及（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、兰州理工大学 20XX 年高等数学竞赛试题（洪小波提供）及解答一、填空题(每小题 2 分，共 12 分)1、函数2ln(1),0( )(1) sin 2 ,0 xxxf xexx若若在点0 x处可导，则,。2、设xdxxfxxxfe12)(2ln)(，则( )f x。3、221(1)(arctan )dxxx。4、设二元函数( , )u x y满足22uxyy，2( ,)1u x x，则( , )u x y。5、由2222xyzxyz所确定的( ,)zz x y在点(1,0, 1)处的全微分为。6、过1123:101xyzL且平行于221:211xyzL的平面方程为。二、选择题(每小题 2 分
2、，共 12 分)1、把0 x时的无穷小量xdtt02cos，20tanxdtt，xdtt03sin排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )A,；B,；C,；D,。2、设2,( )0,xxf xx若 为有理数若 为无理数，则( )f x可导点的个数为( )(A) 0 ；(B) 1；(C) 2；(D) 无穷。3、设( )f x是(,)上可导的、周期为6的函数，且满足0( )()lim1xffxx，则曲线( )yfx在(7,(7)f处的切线斜率为( )A、2；B、0 ；C、1；D、1。4、设0a，( )t是正值连续函数，则曲线( )( )aayf xxtt dt ( )(
3、A) 在,0a上是凹的，在0,a上是凸的；(B) 在,0a上是凸的，在0,a上是凹的；(C) 在,a a上是凹的；(D) 在,a a上是凸的。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5、设0a，而22:L xyax，则22Lxy ds( )(A) 122a；(B) 2a；(C)42a；(D) 22a。6、设ln( 1)nnnun，则级数( )A、1nnu与21nnu都收敛；B、1nnu与21nnu都发散；C、1n
4、nu收敛而21nnu发散；D、1nnu发散而21nnu收敛。三、计算题(每小题 6 分，共 60 分)1、求nnnn!lim。2、确定常数,a bR，使2001lim2sin3xxtdtaxxbt。3、设()2()zxf y xyx y，其中( )f u，( )u都是二阶可导的函数，求zx，2zx y。4、计算1dxx。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5、求222min(|,)xxdx。6、试求连接空间两
5、点(1,0,0)A和(0,1,1)B的直线段AB 绕z轴旋转所得曲面与二平面0,1zz所围立体的体积。7、计算积分2110yxIdxe dy。8、计算曲线积分22(1)(1)LydxxdyIxy，其中L为椭圆22941xy的正向。9、求级数20( 1) (1)2nnnnn的和。10、设( ,)P x y为连接两点(0,1)A与(1,0)B的一条凸弧上的任一点，且凸弧与弦AP之间的面积为3x，求此凸弧的方程。四、证明题(第 1、2 小题各 5 分，第 3 小题 6 分，共 16 分)精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名
6、师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 1、设( ),( )f xg x为, a b上单调递增的连续函数，则()( ) ( )( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx。2、设)(xf在区间4,2上具有连续的导数，且(2)(4)0ff，则4242)()(maxdxxfxfx。3、设10,nnnkkaAa满足lim, lim0nnnnnAaA，则级数1nnna x的收敛半径为1。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳
7、 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 兰州理工大学 20XX 年高等数学竞赛参考答案一、填空题1、1 2, 1；2、22ln xx e；3、2；4、22412yx yx；5、2dxdy；6、320 xyz。二、选择题1、B ；2、B； 3、C；4、C；5、D； 6、C。三、计算题1、求nnnn!lim。解: 101!11limlnlim(ln ! ln )limln( )ln1nnnnnknknnxdxnnnn，故!1limnnnne。2、确定常数,a bR，使2001lim2sin3xxtdtaxxbt。解：由题意知23tbt
8、在0t的某邻域内有定义，所以0b，由罗必塔法则得22200000,133limlimlimsincos(cos )32,1xxxxtxdtaxbtbxaxxaxaxbxba若若， 故1ab。3、设()2()zxf y xyx y，其中( )f u，( )u都是二阶可导的函数，求zx，2zx y。解：()()()2()zfy xy x fy xx yx，222()2()zxyfy xxyx yx y。4、计算1dxx。解：令21xt，则222(1) ,4 (1)xtdxt tdt，故23444(1)4(1)331dxtdtttCxxCx。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - -
9、 - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5、求222min(|,)xxdx。解: 22122222001211min(|,)2min(|,)22333xxdxxxdxx dxxdx。6、试求连接空间两点(1,0,0)A和(0,1,1)B的直线段AB 绕z轴旋转所得曲面与二平面0,1zz所围立体的体积。解 ： 线 段AB 的 方 程 为1,01xz yzz， 在AB 上 任 一 点 到z 轴 的 距 离 的 平 方 为222(1)dzz，故所求立体的体积为12202(1)
10、3Vzzdz。7、计算积分2110yxIdxe dy。解：222110001(1)2yyyyDIe dxdydye dxye dye。8、计算曲线积分22(1)(1)LydxxdyIxy，其中L为椭圆22941xy的正向。解: 令221: (1)1Lxy(逆时针方向 )，则由格林公式得112222(1)(1)()(1)(1)LLLLydxxdyydxxdyIxyxy22222220sinsincos cos1()()(1)(1)cossinDxyddxxyxxy2002Ddd。9、求级数20( 1) (1)2nnnnn的和。解: 210200( 1) (1)2(1)( 1 2)( 1 2)(2
11、)23nnnnxnnnnnnnn nx1342422 2( 2)32 732 7xx。10、设( ,)P x y为连接两点(0,1)A与(1,0)B的一条凸弧上的任一点，且凸弧与弦AP之间的面积为精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3x，求此凸弧的方程。解: 设凸弧的方程为( )yf x，则30( )1( )2xxxf t dtf x，两边对x求导得261xyyx，即116yxyxx，解之得261ycxx，由
12、(1)0y得5c，故所求曲线为2156yxx。四、证明题1、设( ), ( )f x g x为, a b上单调递增的连续函数，则()( ) ( )( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx。证明 : 设( )()( ) ( )( )( )xxxaaaF xxaf t g t dtf t dtg t dt，则( )F x在, a b上可导，且,xa b，有( )( ) ( )()( ) ( )( )( )( )( )xxxaaaF xf t g t dtxa f x g xg xf t dtf xg t dt( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x
13、xaaf x g xf t g tdtf t g xf x g tdt( )( )( )( )0 xaf xf tg xg tdt，故( )F x在,a b上单增，从而( )( )F bF a，即()( ) ( )( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx。2、设)(xf在区间4,2上连续可导，且(2)(4)0ff，则4242)()(maxdxxfxfx。证明：2, 4x，存在12(2, )( ,4)xx及，使12( )()(2)()(4)f xfxfx，令)(max42xfMx，则( )max (2),(4)f xMxx，故44342324232223( )(
14、)(2)(4)(2)(4)2Mf x dxf x dxM xdxMx dxxxM。3、设10,nnnkkaAa满足lim, lim0nnnnnAaA，则级数1nnna x的收敛半径为1。证明：设Rr,分别为级数11,nnnnnnxAxa的收敛半径，则由于limnnA，故级数1nnnxa在1x处发散，故1r；又0limnnnAa，故n充分大时，1nnAa， 从而nnnnnnnnaaxA xA xA，即1Rr，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 而111()limlimlimlimlim1nnnnnnnnnnnnnnnnAAaAaARAAAAA，故1r。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -
