高中理科数学解题方法篇(不等式2)

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1、不等式发挥经典价值提高复习效率何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验；每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法；每个经典题目， 总有其独特的教育价值和教学功能；每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。 数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典，本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。题目已知，且，求证。本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修不等式选讲人教版第十页习题第 11 题。这是一道经典的条件不等式证明题，解题入口宽、

2、方法多样，对本题进行一题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。证法 1（配方法） 因为，所以，所以，所以，当且仅当且且，即时等号成立。点评本解法先消元，将表示成只含的二次式， 并将此式当作是以为主元的二次三项式进行配方，再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，从而使问题得到解决。证法 2（构造二次函数）因为，所以，于是，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学

3、习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -故当时，最小，此时，所以，所以，当且仅当时等号成立。点评本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元，将表示成只含的二次式， 然后选为主元， 将此式当作是含有参数的以为自变量的二次函数，求出的最小值，的最小值就是的最小值，从而使问题获解。证法 3（用重要不等式）因为，所以，当且仅当时等号成立。点评将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。证 法4（ 用 等 号 成 立 的 条 件 构 造 平 方 和 ） 由 所 证 不 等 式 等 号 成 立 的 条 件 得 ，即，所以，当且仅当

4、时等号成立。证法 5（用等号成立的条件构造配偶不等式）由所证不等式等号成立的条件可构造如下不 等式：，三 式相加 得，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -，所以，当且仅当时等号成立。点评证法 4 和证法 5注意到等号成立的条件是问题获得简解的关键之所在。证法6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。证法

5、7（用向量数量积不等式）构造向量，由向量数量积不等式得 ， 即， 当 且 仅 当时等号成立。证法8（利用直线与圆有公共点解题）把当作参数当作变量，则即可看作是直角坐标系下的一条直线的方程，设则，此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个方程所组成的方程组有解，所以直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径。故，即有解，所以，解得则，即。点评本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静。根据“方程组有解， 则直线与圆有公共点，从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式， 进而使问题得以解决。证法9 （三角换元法）设则，设精品p d f 资料 - - - 欢迎下

6、载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -。 由得，所以，由正弦函数的有界性得，两边平方解得，故。证 法10（ 构 造 概 率 模 型 ） 设 随机 变 量取 值 为时 的 概 率 均 为， 因 为， 所 以， 所 以， 即，当且仅当时等号成立。证法 11（用琴生不等式）构造函数，因为是上的凹函数，由琴生不等 式 得 ， 即， 所 以，当且仅当时等号

7、成立。证法 12（用点面距离公式）可看作是空间直角坐标系下的一个平面的方程，可看作是这个平面内任意一点到原点 O 的距离的平方， 由垂线段最短知，当OP 与平面垂直时， OP 最短从而最小，由点面距离公式得点O 到平面的的距离为：，所以，即。凹凸函数、 琴生不等式是高等数学的内容，但与初等函数关系密切，是初等数学与高等数学的衔接处， 点面距离公式是大学空间解析几何的内容，但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广，这些知识可开阔学生的视野，类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题，消元法、配方法、构造法，函数和方程思想，

8、化归和转化思想，数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法，在以精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -上十二种解法中体现得淋漓尽致。一题多解有利于培养发散思维、求异思维和综合运用多种知识解决问题的能力，有利于拓宽解题思路，有利于创造性思维的培养。发挥经典以一当十，解析一题复习一片。对二元一次不等式确定平面区

9、域的探究湖北省阳新县高级中学邹生书人教版高二数学第二册（上）二元一次不等式确定平面区域属于新增内容，大纲要求是：了解二元一课次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式（组）。笔者对这部内容作了一些研究，本文将得出的重要结论及其在解题中的应用与大家进行交流，希望能对这节内容的教学和学习有所帮助。命题 1：已知二元一次函数点 P1（x1,y1）在直线 Ax+By+C=0上若 B0，则有点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 上方点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 下方若 A0，则有点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 右方点 P1（x1,y1 ）在

10、直线 Ax+By+C=0 左方分析 ：易证，、证法类似，下面对进行证明。证明 ：当B0，直线把坐标平面分成上、下两个半平面 . 设 P1（x1,y1）是坐标平面内不在l 上的任意一点 ,作直线 x=x1 交 l 于点 P0，设 P0 的坐标为 (x1,y0). 点即由此可知精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - -

11、 -点点根据这个命题不难得出直线l 同侧上的两个点对应的二元函数的值符号相同，异侧上的两个点对应的二元函数值符号相反，即有如下结论：命题 2：已知二元一次函数点在直线点在直线应用举例：1、快速准确地确定二元一次不等式所表示的平面区域. 例 1：（人教版高二数学第二册第64 页例 1） 画出不等式表示的平面区域. 解法1：异号，由命题1 知不等式表示直线下方的平面区域，如图所示解法2：异号，由命题1 知不等式表示直线左方的平面区域，如图所示小结 ：二元一次不等式确定平面区域的方法：点判别法：直线定边界，一点定区域，合则在，不合则不在；B 符号判别法：直线定边界，符号定区域，同上异下；A 符号判别

12、法：直线定边界，符号定区域，同右异左. 由例 1 可知，教材采用点判别法，需要取点，计算函数值，判断点与直线的位置关系再确定平面区域， 而符号判别法只需由A（或 B）的符号与不等式的符号的异同直接确定平面区域，相比之下显得快速准确、实用. 2、巧妙简捷地求方程含有参数的直线与已知线段相交时参数的取值范围. 例 2：直线为端点的线段相交，则k 的取值范围是_. 分析 ：这是一道一题多解的好题，但有的解法运算量大，有的解法容易出错，若用命题精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

13、第 6 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 的结论可轻而易举地得出正确结果，解法如下：解：设直线练习题：1、表示图中阴影部分的平面区域内的点（x,y）所满足的约束件是_. 2、 直线在第一象限，则 k的取值范围是_. 答案： 1、2、错解剖析得真知（十四）不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等

14、式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、 值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来， 高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 42 页 - - -

15、- - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、 税收、销售收入、 市场信息” 等，题目往往篇幅较长.2函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数 函 数 、 对 数 函 数 、 三 角 函 数 、反 三 角 函 数 ”等 标 准 形 式 外， 又 出 现 了 以“ 函 数”为模型的新的形式.三经典例题导讲例 1求 y=的最小值 . 错解 ：y=2 y 的最小值为2. 错因 ：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条

16、件缺一不可. 正解 ：令 t=,则 t,于是 y=由于当 t时， y=是递增的，故当t2 即 x=0 时， y 取最小值. 例 2m 为何值时，方程x2+(2m+1)x+m23=0 有两个正根 . 错解 ：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根 . 错因 ：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0. 正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根. 例 3若正数 x，y 满足，求 xy 的最大值解：由于 x，y 为正数，则6x，5y 也是正数，所以精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -当且仅当6x=5y 时，取“ =”号因，则，即，所以的最大值为. 例 4 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值分析 ：经过审题可以看出，长方体的全