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1、函数概念（一）知识梳理1映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf :，f 表示对应法则注意： A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1) 函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(2) 函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域
2、； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （1）AR，|0Byy，:|fxyx；（2）*|2,Ax xxN，|0,By yyN，2:22fxyxx；（3）|0Ax x，|By yR，:
3、fxyx上述三个对应是A到B的映射例 2若4,3 ,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例 3设集合 1,0,1M， 2, 1,0,1,2N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象( )f x的和都为奇数，则映射f的个数是（）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - ()A8个()B12 个()C16 个()D18 个答案： 1
4、. （2） ；281,64,81 ；3.D考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 答案 （1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知
5、抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数)(xf满足564) 12(2xxxf，求)(xf（三种方法）例 2 （09 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型 2：求抽象函数解析式例 1已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等
6、于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1. （08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为 ( ) A.),2)4,(;B.)1 ,0()0 ,4(；C. 1 ,0()0 ,4,;D. )1 ,0()0,4,答案：D精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共
7、26 页 - - - - - - - - - - 题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （2007湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A. 4 ,00, 4；B. 4, 11,4；C. 2, 11,2；D. 4, 22, 4答案： B. 例 2已知函数)(xfy的定义域为ba，求)2(xfy的定义域例 3已知)2(xfy的定义域是ba，求函数)(xfy的定义域例 4已知(21)yfx的定义域是（ -2，0） ，求(21)yfx的定义域 (-3x0）的函数， m0 就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（ 1）单调区间（ 2）x 的范围 3,5，求值域（ 3）x
8、-1,0 )(0,4,求值域（2）如44yxx，求（ 1）3,7上的值域（2）单调递增区间（x0 或 x4）（3）如123yxx， （1）求 -1,1 上的值域（2）求单调递增区间精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I
9、上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间； 如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf， 那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法 （取值作差变形定号）；导数法 （在区间( , )a b内，若总有( )0fx，则( )f x为增函数；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数，则( )0fx，（2
10、）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，减区间为,0),(0,bbaa. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数） 。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性
11、是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0 ,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。4、函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立，那么称)(0 xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立，那么称精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
12、第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )(0 xf为)(xfy的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 （1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2( )82,f xxx若2( )(2)g xfx试确定( )g x的单调区间和单调性解： （1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，（2）222( )82(2)(2)g xxx4228xx，3( )44g xxx，令( )0g x，得1x或01x，令( )0gx，1x或10 x单调增区间为(, 1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)例 2.
13、判断函数 f(x)=12x在定义域上的单调性.解： 函数的定义域为x|x -1 或 x1,则 f(x)= 12x,可分解成两个简单函数.f(x)=)(, )(xuxu =x2-1 的形式 . 当 x1 时， u(x) 为增函数，)( xu为增函数 .f （x）=12x在 1，+) 上为增函数 . 当 x-1 时， u（x) 为减函数，)(xu为减函数，f(x)=12x在（ - ,-1 上为减函数 .题型 2：研究抽象函数的单调性例 1已知函数( )fx的定义域是0 x的一切实数， 对定义域内的任意12,x x都有1212()()()f xxf xf x，且当1x时( )0,(2)1f xf，（
14、1）求证：( )f x是偶函数；（2）( )f x在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx解： （1）令121xx，得(1)2(1)ff，(1)0f，令121xx，得( 1)0f，()( 1)( 1)( )( )fxfxff xf x，( )f x是偶函数（2）设210 xx，则精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 221111()()()()xf xf xf xf xx221111()()()(
15、)xxfxff xfxx210 xx，211xx，21()xfx0，即21()()0f xf x，21()()f xf x( )f x在(0,)上是增函数（3）(2)1f，(4)(2)(2)2fff，( )f x是偶函数不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，又函数在(0,)上是增函数，2|21| 4x，解得：101022x，即不等式的解集为1010(,)22题型 3：函数的单调性的应用例 1若函数2) 1(2)(2xaxxf在区间（，4 上是减函数，那么实数a的取值范围是 _( 答：3a）) ；例 2已知函数1( )2axf xx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围 _（
16、答：1(,)2） ；考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法： （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值例 1 （2007 上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x当21a时，求函数)(xf的最小值。 解析 当21a时，2211)( , 221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间), 1上为增函数。)(xf在区间), 1 上的最小值为27)1 (f。题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围例 2 （2008 广东）已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x若对任意1,),( )0 xf x恒成立 ,试求实数a的取值范围。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
