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1、二次求导【理 2010 全国卷一第20 题】已知函数( )(1)ln1f xxxx. （）若2( )1xfxxax，求a的取值范围；（）证明：(1) ( )0 xf x先看第一问，首先由( )(1)ln1f xxxx可知函数fx的定义域为0,，易得11ln11lnfxxxxxx则由2( )1xfxxax可知21ln1xxxaxx，化简得2lnxxxax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x，而x又大于零，所以两边同乘1x可得ln xxa，所以有lnaxx，在对lng xxx求导有11gxx， 即当0 x1时，gx0，g x在区间0,1上为增函数； 当1x时，0g x；当1x时，gx0
2、，g x在区间1,上为减函数。所以g x在1x时有最大值，即ln11g xxxg。又因为lnaxx，所以1a。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证(1)( )0 xf x，只须证当0 x1时，0fx；当1x时，fx0即可。由上知1lnfxxx， 但用fx去分析fx的单调性受阻。 我们可以尝试再对1lnfxxx求导，可得211fxxx， 显然当0 x1时，0fx； 当1x时，fx0， 即1lnfxxx在区间0,上为减函数， 所以有当0 x1时，11fxf，我们通过二次求导分析fx的单调性，得出当0 x1时1fx，则fx在区间0,1上为增函数，即10fxf，此时，则有
3、(1) ( )0 xf x成立。下面我们在接着分析当1x时的情况， 同理，当1x时，fx0，即fx在区间1,上为增函数，则11fxf，此时，fx为增函数，所以10fxf，易得(1) ( )0 xf x也成立。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 综上，(1)( )0 xf x得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解： （）1lnfxxx，则ln1xfxxx题设2( )1xfxxax等价于ln xxa。令lng
4、 xxx，则11gxx。当0 x1时，gx0；当1x时，0gx，1x是g x的最大值点，所以11g xg。综上，a的取值范围是1,。（）由（）知，11g xg，即ln10 xx。当0 x1时，1lnln1lnln1fxxxxxxxxx11lnln10 xxxx因为1x0，所以此时(1)( )0 xf x。当1x时，11lnln1lnln10fxxxxxxxxx。所以(1)( )0 xf x比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同
5、学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！下面我们再看一道高考压轴题。【理 2010 全国卷三第21 题】设函数21xfxexax。（）若0a，求fx的单调区间；（）若当0 x时，0fx。求a的取值范围。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 第一问没有任何难度，通过求导数fx来分析fx的单调即可。当0a，1xfxe，令0fx，得0 x；当x0时，fx0；当x0时，fx0。所以f
6、x在区间,0上为减函数，在区间0,上为增函数。第二问，其实第一问算是个提示，即当0a时，fx在区间0,上为增函数，故00fxf，显然满足题意。下面我们分别分析a0和a0两种情况。当a0时，在区间0,上显然20ax，综上可得在区间0,上210 xfxexax成立。故a0满足题意。当a0时，12xfxeax，2xfxea，显然00f，00f，当fx在区间0,上大于零时，fx为增函数，0fxfx，满足题意。而当fx在区间0,上为增函数时，00fxf， 也就是说， 要求fx在区间0,上大于等于零， 又因为2xfxea在区间0,上为增函数，所以要求10f，即020ea，解得12a。综上所述，a的取值范围
7、为1,2。通过上面两道压轴题，我们已经领略了二次求导在分析高考数学函数压轴题的威力。再看看某些省市的函数题。【理 2010 安徽卷第 17 题】设a为实数，函数22 ,xfxexa xR。（）求fx的单调区间与极值；（）求证：当aln 21且x0时，xe221xax。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数221xg xexax，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。22xgxexa，继续对gx求导得2xgxe0,ln 2ln 2ln 2,精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - -
8、- - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - gx0gx减极小值增由上表可知ln 2gxg，而ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21geaaa，由aln 21知ln 2g0，所以gx0，即g x在区间0,上为增函数。于是有g x0g，而020020 10gea，故g x0，即当aln 21且x0时，xe221xax。2009 辽宁理科已知函数21( )=1 ln2f xxaxax，1a( ) 讨论函数( )f x的单调性( ) 证明：若5a，则对任意12,0,x x，12xx，有1212()()1fxfxxx解析： 根的大小不确定
9、；利用结论证明不等式( )( )f x的定义域为0,211(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx（1）若11a，即2a时2(1)( )0 xfxx此时( )f x在(0,)单调增加（2）若11a，即2a时，x01 ，1 11a，1a1a，( )fx+ 0 0 + 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ( )f x极大值极小值所以，( )f x在01，1a，内单调递增；在11a，内单调递减（3）若11
10、a，即12a时x0,1a1a11a，11 ，( )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值所以，( )f x在0,1a，1 ，内单调递增；在11a，内单调递减( ) 考虑函数21( )( )(1)ln2g xf xxxaxaxx则211( )(1)2(1)1(11)aag xxaxaaxx由于15a，故( )0gx，即( )g x在(0, +)单调增加不妨设120 xx时，则12()()0g xg x，即1212()()0f xf xxx所以1212()()1fxfxxx2010 天津文科已知函数323( )12f xaxxxR，其中0a( ) 若1a，求曲线( )yfx在点2,2f处的切
11、线方程；( ) 若在区间1 1,2 2上，0fx恒成立，求a的取值范围解析： 根的范围不确定；不等式恒成立( ) 当1a时，323( )12f xxx，则(2)3f；2( )33fxxx，则(2)6f所以( )yfx在点2,2f处的切线方程为362yx，即69yx( )2( )3331fxaxxx ax精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 令( )0fx，解得：10 x；21xax0，0 10a，1a1a，(
12、 )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值（1）若112a，即02a时( )f x在1()2，0内单调递增；在1(0, )2内单调递减所以，当1 12 2x，时，( )0f x等价于1()021( )02ff，即508508aa解得55a，所以02a（2）若1102a，即2a时( )f x在1()2，0，112a，内单调递增；在1(0, )a内单调递减所以，当1 12 2x，时，( )0f x等价于1()021()0ffa，即25081102aa解得252a或22a，所以25a综合（ 1）和（ 2） ，可知a的取值范围为05a2008 浙江理科已知a是实数，函数( )()f xx xa(
13、 ) 求函数( )f x的单调区间( ) 设( )g a为( )f x在区间0 2，上的最小值( ) 写出( )g a的表达式精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （）求a的取值范围，使得6( )2g a解析： 根的存在不确定( )( )fx的定义域为0，3( )22xaxafxxxx0 x（1）若0a时，则( )0fx，( )f x在区间0，上单调递增（2）若0a时，令( )0fx，得3axx03a，3a3
14、a， +( )fx0 + ( )fx极小值所以，( )f x在03a，内单调递减；在3a，+内单调递增( ) ( ) （1）当0a时，( )f x在0 2，上单调递增所以( )(0)0g af（2）若23a，即06a时，( )f x在03a，内单调递减；在23a，内单调递增所以2( )333aaag af（3）若23a，即6a，( )f x在0 2，上单调递减所以( )(2)2(2)g afa综上所述，002( )06332(2)6aaag aaaa，（）令6( )2g a若0a，无解；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下
15、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 若06a，解得36a；若6a，解得623 2a所以，a的取值范围为3232a2010 全国文科已知函数32( )331f xxaxx( ) 设2a，求( )f x的单调区间；( ) 设( )f x在区间2,3中至少有一个极值点，求a的取值范围解析： 根的存在不确定( ) 当2a时，32( )631f xxxx，( )3(23)(23)fxxxx,232323, 232323,( )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值所以，( )f x在,23，23,内单调递增；在23,
16、23内单调递减( )22( )3 ()1fxxaa，（1）当210a时，( )0fx，( )f x为增函数，故( )fx无极值点；（2）当210a时，令( )0fx，解得211xaa；221xaa因为( )f x在区间2,3中至少有一个极值点，所以2213aa，或2213aa解得5543a，所以a的取值范围是5 54 3，2010 天津理科已知函数( )xf xxe( ) 求函数( )f x的单调区间和极值精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ( ) 已知函数( )yg x的图象与函数( )yf x的图象关于直线1x对称，证明：当1x时，( )( )f xg x( ) 如果12xx，且12()()f xf x，证明：122xx解析： 不等式恒成立；利用结论证明不等式( )( )1xfxx ex1，1 1 ，( )fx+ 0 ( )f x极大值所以，( )f x在1，内单调递增；在1，内单调递减1(1)
