《高考函数压轴题二次求导等》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考函数压轴题二次求导等(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、二次求导【理 2010 全国卷一第20 题】已知函数( )(1)ln1f xxxx. ()若2( )1xfxxax,求a的取值范围;()证明:(1) ( )0 xf x先看第一问,首先由( )(1)ln1f xxxx可知函数fx的定义域为0,,易得11ln11lnfxxxxxx则由2( )1xfxxax可知21ln1xxxaxx,化简得2lnxxxax,这时要观察一下这个不等式,显然每一项都有因子x,而x又大于零,所以两边同乘1x可得ln xxa,所以有lnaxx,在对lng xxx求导有11gxx, 即当0 x1时,gx0,g x在区间0,1上为增函数; 当1x时,0g x;当1x时,gx0
2、,g x在区间1,上为减函数。所以g x在1x时有最大值,即ln11g xxxg。又因为lnaxx,所以1a。应该说第一问难度不算大,大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证(1)( )0 xf x,只须证当0 x1时,0fx;当1x时,fx0即可。由上知1lnfxxx, 但用fx去分析fx的单调性受阻。 我们可以尝试再对1lnfxxx求导,可得211fxxx, 显然当0 x1时,0fx; 当1x时,fx0, 即1lnfxxx在区间0,上为减函数, 所以有当0 x1时,11fxf,我们通过二次求导分析fx的单调性,得出当0 x1时1fx,则fx在区间0,1上为增函数,即10fxf,此时,则有
3、(1) ( )0 xf x成立。下面我们在接着分析当1x时的情况, 同理,当1x时,fx0,即fx在区间1,上为增函数,则11fxf,此时,fx为增函数,所以10fxf,易得(1) ( )0 xf x也成立。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 综上,(1)( )0 xf x得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解: ()1lnfxxx,则ln1xfxxx题设2( )1xfxxax等价于ln xxa。令lng
4、 xxx,则11gxx。当0 x1时,gx0;当1x时,0gx,1x是g x的最大值点,所以11g xg。综上,a的取值范围是1,。()由()知,11g xg,即ln10 xx。当0 x1时,1lnln1lnln1fxxxxxxxxx11lnln10 xxxx因为1x0,所以此时(1)( )0 xf x。当1x时,11lnln1lnln10fxxxxxxxxx。所以(1)( )0 xf x比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出。不妨告诉同
5、学们一个秘密:熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器!下面我们再看一道高考压轴题。【理 2010 全国卷三第21 题】设函数21xfxexax。()若0a,求fx的单调区间;()若当0 x时,0fx。求a的取值范围。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 第一问没有任何难度,通过求导数fx来分析fx的单调即可。当0a,1xfxe,令0fx,得0 x;当x0时,fx0;当x0时,fx0。所以f
6、x在区间,0上为减函数,在区间0,上为增函数。第二问,其实第一问算是个提示,即当0a时,fx在区间0,上为增函数,故00fxf,显然满足题意。下面我们分别分析a0和a0两种情况。当a0时,在区间0,上显然20ax,综上可得在区间0,上210 xfxexax成立。故a0满足题意。当a0时,12xfxeax,2xfxea,显然00f,00f,当fx在区间0,上大于零时,fx为增函数,0fxfx,满足题意。而当fx在区间0,上为增函数时,00fxf, 也就是说, 要求fx在区间0,上大于等于零, 又因为2xfxea在区间0,上为增函数,所以要求10f,即020ea,解得12a。综上所述,a的取值范围
7、为1,2。通过上面两道压轴题,我们已经领略了二次求导在分析高考数学函数压轴题的威力。再看看某些省市的函数题。【理 2010 安徽卷第 17 题】设a为实数,函数22 ,xfxexa xR。()求fx的单调区间与极值;()求证:当aln 21且x0时,xe221xax。第一问很常规,我们直接看第二问。首先要构造一个新函数221xg xexax,如果这一着就想不到,那没辙了。然后求导,结果见下表。22xgxexa,继续对gx求导得2xgxe0,ln 2ln 2ln 2,精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - -
8、- - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - - gx0gx减极小值增由上表可知ln 2gxg,而ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21geaaa,由aln 21知ln 2g0,所以gx0,即g x在区间0,上为增函数。于是有g x0g,而020020 10gea,故g x0,即当aln 21且x0时,xe221xax。2009 辽宁理科已知函数21( )=1 ln2f xxaxax,1a( ) 讨论函数( )f x的单调性( ) 证明:若5a,则对任意12,0,x x,12xx,有1212()()1fxfxxx解析: 根的大小不确定
9、;利用结论证明不等式( )( )f x的定义域为0,211(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx(1)若11a,即2a时2(1)( )0 xfxx此时( )f x在(0,)单调增加(2)若11a,即2a时,x01 ,1 11a,1a1a,( )fx+ 0 0 + 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - - ( )f x极大值极小值所以,( )f x在01,1a,内单调递增;在11a,内单调递减(3)若11
10、a,即12a时x0,1a1a11a,11 ,( )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值所以,( )f x在0,1a,1 ,内单调递增;在11a,内单调递减( ) 考虑函数21( )( )(1)ln2g xf xxxaxaxx则211( )(1)2(1)1(11)aag xxaxaaxx由于15a,故( )0gx,即( )g x在(0, +)单调增加不妨设120 xx时,则12()()0g xg x,即1212()()0f xf xxx所以1212()()1fxfxxx2010 天津文科已知函数323( )12f xaxxxR,其中0a( ) 若1a,求曲线( )yfx在点2,2f处的切
11、线方程;( ) 若在区间1 1,2 2上,0fx恒成立,求a的取值范围解析: 根的范围不确定;不等式恒成立( ) 当1a时,323( )12f xxx,则(2)3f;2( )33fxxx,则(2)6f所以( )yfx在点2,2f处的切线方程为362yx,即69yx( )2( )3331fxaxxx ax精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 令( )0fx,解得:10 x;21xax0,0 10a,1a1a,(
12、 )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值(1)若112a,即02a时( )f x在1()2,0内单调递增;在1(0, )2内单调递减所以,当1 12 2x,时,( )0f x等价于1()021( )02ff,即508508aa解得55a,所以02a(2)若1102a,即2a时( )f x在1()2,0,112a,内单调递增;在1(0, )a内单调递减所以,当1 12 2x,时,( )0f x等价于1()021()0ffa,即25081102aa解得252a或22a,所以25a综合( 1)和( 2) ,可知a的取值范围为05a2008 浙江理科已知a是实数,函数( )()f xx xa(
13、 ) 求函数( )f x的单调区间( ) 设( )g a为( )f x在区间0 2,上的最小值( ) 写出( )g a的表达式精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - - ()求a的取值范围,使得6( )2g a解析: 根的存在不确定( )( )fx的定义域为0,3( )22xaxafxxxx0 x(1)若0a时,则( )0fx,( )f x在区间0,上单调递增(2)若0a时,令( )0fx,得3axx03a,3a3
14、a, +( )fx0 + ( )fx极小值所以,( )f x在03a,内单调递减;在3a,+内单调递增( ) ( ) (1)当0a时,( )f x在0 2,上单调递增所以( )(0)0g af(2)若23a,即06a时,( )f x在03a,内单调递减;在23a,内单调递增所以2( )333aaag af(3)若23a,即6a,( )f x在0 2,上单调递减所以( )(2)2(2)g afa综上所述,002( )06332(2)6aaag aaaa,()令6( )2g a若0a,无解;精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下
15、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 若06a,解得36a;若6a,解得623 2a所以,a的取值范围为3232a2010 全国文科已知函数32( )331f xxaxx( ) 设2a,求( )f x的单调区间;( ) 设( )f x在区间2,3中至少有一个极值点,求a的取值范围解析: 根的存在不确定( ) 当2a时,32( )631f xxxx,( )3(23)(23)fxxxx,232323, 232323,( )fx+ 0 0 + ( )f x极大值极小值所以,( )f x在,23,23,内单调递增;在23,
16、23内单调递减( )22( )3 ()1fxxaa,(1)当210a时,( )0fx,( )f x为增函数,故( )fx无极值点;(2)当210a时,令( )0fx,解得211xaa;221xaa因为( )f x在区间2,3中至少有一个极值点,所以2213aa,或2213aa解得5543a,所以a的取值范围是5 54 3,2010 天津理科已知函数( )xf xxe( ) 求函数( )f x的单调区间和极值精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - - ( ) 已知函数( )yg x的图象与函数( )yf x的图象关于直线1x对称,证明:当1x时,( )( )f xg x( ) 如果12xx,且12()()f xf x,证明:122xx解析: 不等式恒成立;利用结论证明不等式( )( )1xfxx ex1,1 1 ,( )fx+ 0 ( )f x极大值所以,( )f x在1,内单调递增;在1,内单调递减1(1)