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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第 6 讲幂函数与二次函数【20XX 年高考会这样考】1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1幂函数的定义一般地，形如 yx( R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量， 为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，yx12，yx1的图象分别
2、如右图3幂函数的性质yx yx2yx3yx12yx1精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思定义域RRR0， ) x|xR 且x0 值域R0， )R0， ) y|yR 且y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增x(， 0时，减增增x(0，)时，减x(， 0)时，
3、减定点(0,0)，(1,1) (1,1) 4.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a1，即b23b20，b1.解得 b2. 答案C 5(2012 武汉模拟 )若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a、bR)是偶函数， 且它的值域为 (， 4，则该函数的解析式f(x)_. 解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由已知条件 ab2a0，又 f(x)的值域为 (，4，则a0，b2，2a24.因此 f(x)2x24. 答案2x24 考向一二次函数的图象精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢
4、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【例 1】 ?(2010 安徽)设 abc0， 二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是 ()审题视点 分类讨论 a0，a0. 解析若 a0，则 bc0，根据选项 C、D，c0，此时只有 b0，二次函数的对称轴方程 xb2a0，选项 D 有可能；若 a0，根据选项 A，c0，此时只能 b0，二次函数的对称轴方程xb2a0，与选项
5、A 不符合；根据选项 B，c0，此时只能 b0，此时二次函数的对称轴方程xb2a0，与选项 B 不符合综合知只能是选项D. 答案D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值， 它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【训练 1】 已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象的大致形状是 ()精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 -
6、- - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解析由函数 f(x)的图象知：当x(，1时，f(x)为减函数，f(x)0；当x1，)时，f(x)为增函数，f(x)0.结合选项知选 C. 答案C 考向二二次函数的性质【例 2】?函数 f(x)x22x2 在闭区间 t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出 g(t)的函数表达式；(2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值审题视点 分类讨论 t
7、 的范围分别确定g(t)解析式解(1)f(x)(x1)21. 当 t11，即 t0 时，g(t)t21. 当 t1t1，即 0t1 时，g(t)f(1)1 当 t1 时，g(t)f(t)(t1)21 综上可知 g(t)t210，t0，1，0t1，t22 t2，t1.(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(， 0上递减，在 1， )上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值 1. (1)二次函数 yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数yax2bxc，在m，n上的最值需要根据二次函数 yax2bxc 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解【训练 2】 已
8、知函数 f(x)x22ax2，x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2)求实数 a 的取值范围，使yf(x)在区间 5,5上是单调函数解(1)当 a1 时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1 时，
9、f(x)取得最小值 1；x5 时，f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x)在区间 5,5上是单调函数，a5 或a5，故 a 的取值范围是 a5 或 a5. 考向三幂函数的图象和性质【例 3】?已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在 (0，)上是减函数，求满足 (a1)m3(32a)m3的 a 的取值范围审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合 m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值解函数在 (0， )上递减，m22m30，解得 1m3. mN*，m1,2. 又函数的图象关于y 轴对称，m
10、22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1. 而 f(x)x13在(， 0)，(0， )上均为减函数，(a1)13(32a)13等价于 a132a0 或 0a132a 或 a1032a. 解得 a1 或23a32. 故 a 的取值范围为 a|a1或23a32. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - -
11、 - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两大步： 第一步，利用单调性和奇偶性 (图象对称性 )求出 m 的值或范围； 第二步， 利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围【训练 3】 幂函数 yxa，当 a 取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线 (如图)设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 yx，yx的图象三等分，即有 |BM|MN|NA|.那么，()A1 B2 C3 D无法确定解析法一
12、由条件得 M13，23，N23，13，由一般性，可得1323，2313，即 log2313， log1323.所以 log2313 log1323lg13lg23lg23lg131. 法二由解法一，得1323，2313，则131323a13，即 1. 答案A规范解答 4如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值， 当函数解析式中含有参数时， 要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - -
13、- - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【解决方案】对于二次函数 f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011 济南模拟 )已知 f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值 5，求 a 的值及函数表达式f(x)求二次函数 f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)4 xa224a
14、，抛物线顶点坐标为a2，4a.(1 分) 当a21，即 a2 时，f(x)取最大值 4a2. 令4a25，得 a21，a 12(舍去)；(4 分) 当 0a21，即 0a2 时，xa2时，f(x)取最大值为 4a. 令4a5，得 a54(0,2)；(7 分) 当a20，即 a0 时，f(x)在0,1内递减，x0 时，f(x)取最大值为 4aa2，令4aa25，得 a24a50，解得 a5 或 a1，其中 5(， 0(10 分) 综上所述， a54或 a5 时，f(x)在0,1内有最大值 5. f(x)4x25x10516或 f(x)4x220 x5.(12 分) 求解本题易出现的问题是直接利用
15、二次函数的性质最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】设函数 yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而 x1 不精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一定在区间 2，a内，应进行讨论当2a1 时， 函数在 2， a上单调递减，则当 xa 时，ymina22a； 当 a1时，函数在 2,1上单调递减，在 1，a上单调递增，则当x1 时，ymin1. 综上， g(a)a22a，2a1，1，a1.精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -
