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1、湖南省邵阳市五峰铺镇青云中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ABC的三边分别为a,b,c且满足,则此三角形是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形参考答案：D2. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D.参考答案：D3. 已知直线（t为参数）与曲线的相交弦中点坐标为(1,1)，则a等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据参数方程与普通方程的互化
2、，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解【详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，则，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4. 在ABC中，若，则B等于（ ）A B C D参考答案：B5. 已知数列an的通项公式为(nN*),若前n项和为9,则项数n为 ( )A.99 B.10
3、0 C.101 D.102参考答案：A6. 设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U = AB，则集合 的真子集共有（ ） A3个 B6个 C7个 D8个参考答案：C略7. 四张卡片上分别标有数字其中可以当使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）A B C D 参考答案：C8. 一位数学老师在黑板上写了三个向量，其中m，n都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“与平行，且与垂直”，乙回答：“与平行”，丙回答：“与不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m，n的值不可能为（ ）A， B， C， D参考答案：D9. 甲、乙两人同时从
4、寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定 参考答案：B10. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A B8 C10 D12参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a(sin x,1)，b(t，x)，若函数f(x)ab在区间上是增函数，则实数t的取值范围是_参考答案：1，)12. 定义运算，则符合条件的复数对应的点位于复平面内的第_象限参考答案：一 略13. 一次射击训练中，某战士命中10环的概率是0.2
5、1，命中9环的概率为0.25，命中8环的概率为0.35，则至少命中8环的概率为 参考答案：0.81由概率的加法公式可得至少命中8环的概率为0.21+0.25+0.35=0.81。答案：0.8114. 已知x与y之间的几组数据如下表：分数段x：y1：12：13：44：5则y与x的线性回归方程x必过_.参考答案：15. 已知椭圆+=1，其弦AB的中点为M，若直线AB和OM的斜率都存在（O为坐标原点），则两条直线的斜率之积为 参考答案：【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x0=，y0=，kAB=
6、，kOM=把A，B坐标代入相减化简即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x0=，y0=，kAB=，kOM=由=1，=1，相减可得：+=0?kAB=0，=0，kOM?kOB=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 若复数（为虚数单位），则|= .参考答案：试题分析：因,故,应填.考点：复数的概念及运算17. 已知f（x）=x2+，则f（2）= 参考答案：6【考点】3T：函数的值【分析】利用配凑法，把x看成一个整体，将等式右边表示成x的形式，然后把x整体换成x，即可
7、得f（x），令x=2，即可得f（2）的值【解答】解：f（x）=x2+，f（x）=x2+=（x）2+2，把x整体换成x，可得，f（x）=x2+2，f（2）=22+2=6故答案为：6三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：xy2=0相切（）求直线l2：4x3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长（）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程（） 若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围参考答案：【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）由
8、直线与圆相交的性质可知，（）2=r2d2，要求AB，只要求解圆心到直线4x3y+5=0的距离即可求直线l2：4x3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长（）求出圆C的方程以及以G（1，3）为圆心，QM为半径的圆，利用圆系方程求直线MN的方程（）设直线l的方程为：y=x+b联立x2+y2=4，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），利用0，以及韦达定理，通过POQ为钝角，求出2b2，当与反向共线时，直线y=x+b过原点，此时b=0，不满足题意，即可得到结果【解答】解：（）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：xy2的距离为圆的半径，r=2，所以圆C的标准方程为：x2+y2=4，所以圆心到
9、直线l2的距离d= （）因为点G（1，3），所以，所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x1）2+（y3）2=6 （1）又圆C方程为：x2+y2=4 （2），由（1）（2）得直线MN方程：x+3y4=0 （）设直线l的方程为：y=x+b联立x2+y2=4得：2x22bx+b24=0，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），由=（2b）28（b24）0，得b28，x1+x2=b，（3）因为POQ为钝角，所以，即满足x1x2+y1y20，且与不是反向共线，又y1=x1+b，y2=x2+b所以（4）由（3）（4）得b24，满足0，即2b2，当与反向共线时，直线y=x+b过原点
10、，此时b=0，不满足题意，故直线l纵截距的取值范围是2b2，且b0 19. (本小题满分14分)如图，将宽和长都为x,y（xy）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为.（注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形）（1）求y关于x的函数解析式;（2）当x,y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值.参考答案：20. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小参考答案：【考点】空间中直线与平面之间
11、的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形?EGAF，就可证：AF平面BDE；（）先以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz把对应各点坐标求出来，可以推出=0和=0，就可以得到CF平面BDE（）先利用（）找到=（，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量=0和=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角ABED的大小【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG因为EG?
12、平面BDE，AF?平面BDE，所以AF平面BDE（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，所以CE平面ABCD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，1）所以=（，1），=（0，1），=（，0，1）所以=01+1=0， =1+0+1=0所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知， =（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则=0， =0即所以x=0，且z=y令y=1，则z=所以n=（），从而cos（，）=因为二面角ABED为锐角，所以
13、二面角ABED为【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线当然也可以用面面平行来推导线面平行21. 已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.（1）求实数的取值范围；（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.参考答案：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，所以，即，解得或.5分（2）由由设两点横坐标分别为，则得所以 .12分22. 设，分别求，；归纳猜想一般性结论，并证明其正确性参考答案：解：+ 同理可得 ； . 注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得，当时，有. （6分） 证明如下：设
