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1、返回上页页下页页目录录新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法” 。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算. 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，2021/12/26返回上页页下页页目录录积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .由导数乘法公式：2021/12/26返回上页页下页页目录录第三节 分部积分法 第四章 （Integration by Parts）例1 求解: 令则 原式
2、另解: 令则 原式2021/12/26返回上页页下页页目录录解: 令则原式 =例2 求（课本 例3）2021/12/26返回上页页下页页目录录解: 令则 原式例3 求（课本例4）2021/12/26返回上页页下页页目录录解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例4 求（课本例7）2021/12/26返回上页页下页页目录录把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例5（补充题）求解: 令, 则原式 =反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数解题技巧:（自学课本例56）20
3、21/12/26返回上页页下页页目录录解: 令, 则原式 =例6（补充题）求2021/12/26返回上页页下页页目录录解: 令则原式令例7（课本 例10）求2021/12/26返回上页页下页页目录录解: 令则得递推公式例8 求（课本 例9）2021/12/26返回上页页下页页目录录递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:2021/12/26返回上页页下页页目录录分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .说
4、明:2021/12/26返回上页页下页页目录录的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.例9 已知（补充题）2021/12/26返回上页页下页页目录录解法1 先换元后分部令即则故例10 求（补充题）2021/12/26返回上页页下页页目录录解法2 用分部积分法2021/12/26返回上页页下页页目录录本节小结分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式2021/12/26返回上页页下页页目录录课后练习习题4-3 （偶数题）思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .2021/12/26返回上页页下页页目录录2. 求不定积分解： 方法1(先分部 , 再换元)令则2021/12/26返回上页页下页页目录录方法2(先换元,再分部)令则故2021/12/26返回上页页下页页目录录3. 求解: 令则2021/12/26返回上页页下页页目录录4. 证明递推公式证：注：或2021/12/26
