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1、2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，则下列结论中正确的是（ ）ABCD2已知命题,，则（ ）A，B，C，D，3已知，为
2、虚数单位，且，则的值为（ ）A4BC-4D4已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABC-1D15直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（ ）A20B-20C5D-56中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A24里B12里C6里.D3里7执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的值可以为ABCD8我国古代数学名著
3、九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A40B43C46D479中国古代的五经是指：诗经、尚书、礼记、周易、春秋，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选诗经，乙也没选春秋，则名同学所有可能的选择有（ ）A种B种C种D种10我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨
4、辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A4072B2026C4096D204811已知函数，设，则（ ）ABCD12已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在等比数列中，成等差数列，则_.14已知在平面直角坐标系中，动点满足不等式，则的最大值为_.15在 中，内角 所对的边分别为 ,已知，且，则面积的最大值为_16四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的
5、表面积为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）设的三内角、的对边长分别为、，已知、成等比数列，且.（I）求角的大小；（）设向量，当取最小值时，判断的形状.18（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.19（本小题满分12分）由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年
6、们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35.非常满意满意合计3015合计（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（3）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常
7、满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：.20（本小题满分12分）已知定点，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。21（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）设，当时，对任意的，存在，使得，求实数 b的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，
8、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，则下列结论中正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由得，故，选项为C.2已知命题,，则（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，则，故选
9、A3已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）A4BC-4D【答案】C【解析】根据复数相等的概念可知，故选C4已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABC-1D1【答案】A【解析】，向量在向量方向上的投影，故选：A5直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（ ）A20B-20C5D-5【答案】A【解析】由， 得x=0，或x=2，或x=-2，因为a为在第一象限围成的封闭图形面积，所以，展开式中的第项为，由可得，所以展开式中的系数为.6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其
10、大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A24里B12里C6里.D3里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，故选C7执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的值可以为ABCD【答案】C【解析】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：；第二循环：；第三循环：，要使的输出的结果为48，根据选项可知，故选C.8我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，
11、其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A40B43C46D47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.9中国古代的五经是指：诗经、尚书、礼记、周易、春秋，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选诗经，乙也没选春秋，则名同学所有可能的选择有（ ）A种B种C种D种【答案】D【解析】 (1)若甲选春秋，则有种情况；(2)若甲不选春秋，
12、则有种情况；所以名同学所有可能的选择有种情况.故选D10我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A4072B2026C4096D2048【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn2n1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn，可得当n10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S
13、122121，则此数列前55项的和为S12234072，故选A11已知函数，设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，；当时，当时，；当时；.函数是偶函数，当时，易得为增函数，,故选D.12已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】令，则当时，又，所以为偶函数， 从而等价于，因此选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在等比数列中，成等差数列，则_.【答案】【解析】，成等差数列 即：，解得：本题正确结果：14已知在平面直角坐标系中，动点满足不等式，则的最大值为_.【答案】4【解析】，又故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.即15在 中，内角 所对的边分别为 ,已知，且，则面积的最大值为_【答案】.【解析】由可得：根据余弦定理可得：，,，即当且仅当时取等号，则面积则面积的最大值为16四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为_.【
