《立体几何专题第4节直线、平面垂直的判定与性质【教师版】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何专题第4节直线、平面垂直的判定与性质【教师版】（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何专题高中数学教师1 第四节 直线、平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面考点一直线与平面垂直的判定与性质典例 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60 ，PAABBC，E 是 PC 的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.
2、证明 (1)在四棱锥P-ABCD 中，PA底面 ABCD，CD? 底面 ABCD，PACD，又 AC CD，且 PAACA，CD平面 PAC.AE? 平面 PAC，CD AE. (2)由 P AABBC， ABC 60 ，可得 ACPA. E 是 PC 的中点， AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD. PD? 平面 PCD， AEPD. PA底面 ABCD，AB? 底面 ABCD， PAAB. 又 AB AD，且 PAADA，AB平面 PAD，PD? 平面 PAD，ABPD. 又 AB AEA， PD平面 ABE. 解题技法 证明线面垂直的4 种方法(1)线面垂直
3、的判定定理：la，lb，a? ，b? ，a bP? l . 立体几何专题高中数学教师2 (2)面面垂直的性质定理： ， l，a? ，al? a . (3)性质： ab，b ? a ， ，a ? a . (4) ， ， l? l .(客观题可用 ) 口诀归纳 线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件. 题组训练 1(2019 安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABBCBB1，AB1A1BE，D 为 AC上的点， B1C平面 A1BD. (1)求证： BD平面 A1ACC1；(2)
4、若 AB1，且 AC AD1，求三棱锥A-BCB1的体积解：(1)证明：如图，连接ED，平面 AB1C平面 A1BD ED，B1C平面 A1BD，B1CED，E 为 AB1的中点，D 为 AC 的中点，ABBC， BDAC. A1A平面 ABC，BD? 平面 ABC， A1ABD. 又 A1A，AC 是平面 A1ACC1内的两条相交直线，BD平面 A1ACC1. (2)由 AB1，得 BCBB11，由(1)知 AD12AC，又 AC AD 1， AC22，AC22 AB2BC2， ABBC，SABC12AB BC12，VA-BCB1VB1-ABC13SABC BB11312116. 2.如图，
5、 S是 RtABC 所在平面外一点，且SASBSC，D 为斜边 AC 的中点(1)求证： SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证： BD平面 SAC. 证明： (1)如图所示，取AB 的中点 E，连接 SE，DE，在 RtABC 中， D，E 分别为 AC，AB 的中点立体几何专题高中数学教师3 DE BC， DEAB，SASB， SEAB. 又 SEDEE， AB平面 SDE. 又 SD? 平面 SDE， ABSD. 在 SAC 中， SASC，D 为 AC 的中点， SDAC. 又 ACABA， SD平面 ABC. (2)ABBC， BDAC，由(1)可知， SD平面 ABC，又 BD
6、? 平面 ABC，SDBD，又 SDACD， BD平面 SAC. 考点二面面垂直的判定与性质典例 (2018江苏高考 )在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， AA1AB，AB1 B1C1. 求证： (1)AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC. 证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1. 因为 AB?平面 A1B1C，A1B1? 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此 AB1A1B. 因为 AB1
7、B1C1， BCB1C1，所以 AB1BC. 因为 A1BBCB，A1B? 平面 A1BC，BC? 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC. 因为 AB1? 平面 ABB1A1，所以平面ABB1A1平面 A1BC. 解题技法 证明面面垂直的2 种方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证立体几何专题高中数学教师4 明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决 题组训练 1(2019 武汉调研 )如图，三棱锥P-ABC 中，底面 ABC 是边长为2 的正三角形，
8、 PAPC，PB2. 求证：平面PAC平面 ABC. 证明： 取 AC 的中点 O，连接 BO，PO. 因为 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以 BOAC， BO3. 因为 PAPC，所以 PO12AC1. 因为 PB2，所以 OP2OB2PB2，所以 POOB. 因为 ACOP O，所以 BO平面 PAC. 又 OB? 平面 ABC，所以平面PAC平面 ABC. 2.(2018安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA平面 ABCD，E，F分别是 AB，PD 的中点，且P AAD. 求证： (1)AF平面 PEC；(2)平面 PEC平面 PCD. 证明： (1)取 P
9、C 的中点 G，连接 FG，EG，F 为 PD 的中点， G 为 PC 的中点，FG 为 CDP 的中位线，FG CD，FG12CD. 四边形ABCD 为矩形， E 为 AB 的中点，AECD，AE12CD. FG AE，FGAE，四边形AEGF 是平行四边形，AFEG，又 EG? 平面 PEC，AF?平面 PEC，AF平面 PEC. (2)PA AD，F 为 PD 中点， AFPD，立体几何专题高中数学教师5 PA平面 ABCD，CD? 平面 ABCD，PACD，又 CDAD，ADPA A，CD平面 PAD，AF? 平面 PAD，CD AF. 又 PDCD D，AF平面 PCD. 由(1)知
10、 EGAF，EG平面 PCD，又 EG? 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD. 课时跟踪检测A 级1设 a，b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则能得出ab 的是 () Aa ，b ， Ba ，b ， Ca? ，b ， Da? ，b ， 解析： 选 C对于 C 项，由 ，a? 可得 a ，又 b ，得 ab，故选 C. 2(2019 湘东五校联考 )已知直线m，l，平面 ， ，且 m ，l? ，给出下列命题：若 ，则 ml；若 ，则 ml；若 ml，则 ；若 ml，则 . 其中正确的命题是() ABCD解析： 选 A对于，若 ，m ，l? ，则 m l，故正确，排除B.对于，若m
11、l，m ，则 l ，又 l? ，所以 .故正确故选A. 3 已知 PA 垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A， B 两点的任一点， 则下列关系不正确的是() AP ABCBBC平面 PACCACPBDPCBC解析： 选 C由 PA平面ACB? PABC，故 A 不符合题意；由BCP A，BCAC，PAACA，可得BC平面 PAC，所以 BCPC，故 B、D 不符合题意；AC PB 显然不成立，故C 符合题意4.如图，在四面体ABCD 中，已知ABAC，BD AC，那么点D 在平面 ABC 内的射影H 必在 () 立体几何专题高中数学教师6 A直线 AB 上B直线 BC 上C直线
12、AC 上D ABC 内部解析： 选 A因为 ABAC，BDAC， ABBDB，所以 AC平央 ABD，又 AC? 平面 ABC，所以平面ABC平面 ABD ，所以点 D 在平面 ABC 内的射影H 必在直线AB 上5.如图， 在正四面体P-ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是 () ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF 平面 PAED平面 PDE 平面 ABC解析： 选 D因为 BCDF，DF ? 平面 PDF ，BC?平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故选项A 正确在正四面体中，AEBC，PE BC，AEPEE，所以 BC平面
13、PAE，又 DF BC，则 DF平面 PAE，从而平面PDF平面 PAE.因此选项B、C 均正确6.如图，已知 BAC90 ， PC平面 ABC， 则在 ABC， PAC 的边所在的直线中， 与 PC 垂直的直线有 _个；与 AP 垂直的直线有_个解析： PC平面 ABC，PC 垂直于直线AB，BC，AC. ABAC，AB PC，ACPCC，AB平面 PAC，又 AP? 平面 PAC，ABAP，与 AP 垂直的直线是AB. 答案： 31 7设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则 ；若 外的一条直线l 与 内的一条直线平行，则l ；设 l，若 内
14、有一条直线垂直于l，则 ；直线 l的充要条件是l 与 内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是_解析： 正确；正确；满足的与 不一定垂直，所以错误；直线l的充要条件是l 与 内的两条相交直线垂直，所以错误故所有的真命题的序号是. 答案： 8在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面与棱 AB，AC，A1C1， A1B1分别交于点E，F，G， H，且直线AA1平面 .有下列三个命题：四边形EFGH 是平行四边形；平面 平面 BCC1B1；平面 平面 BCFE.其中正确命题的序号是_立体几何专题高中数学教师7 解析： 如图所示，因为AA1平面 ，平面 平面 AA1B1BEH，所以AA1EH .同理AA
15、1GF， 所以 EHGF， 又 ABC-A1B1C1是直三棱柱， 易知 EHGFAA1， 所以四边形EFGH是平行四边形，故正确；若平面 平面BB1C1C，由平面 平面A1B1C1GH，平面BCC1B1平面 A1B1C1B1C1，知 GHB1C1，而 GHB1C1不一定成立，故错误；由AA1平面 BCFE，结合 AA1EH 知 EH平面 BCFE， 又 EH? 平面 ， 所以平面 平面 BCFE，故正确答案： 9(2019 太原模拟 )如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形， BAD 60 ，PAPD AD2，点 M在线段 PC 上，且 PM2MC，N 为 AD 的中点(1)求证
16、： AD平面 PNB；(2)若平面 PAD平面 ABCD，求三棱锥P-NBM 的体积解：(1)证明：连接BD. PAPD，N 为 AD 的中点，PNAD. 又底面 ABCD 是菱形， BAD 60 ， ABD 为等边三角形，BNAD，又 PNBNN， AD平面 PNB. (2)PA PDAD2， PNNB3. 又平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCDAD ，PNAD， PN平面 ABCD，PNNB， SPNB123332. AD平面 PNB，ADBC，BC平面 PNB.又 PM2MC，VP-NBMVM-PNB23VC-PNB231332223. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， D，E 分别为 AB，BC 的中点，点F 在侧棱 B1B 上，且B1D A1F，A1C1A1B1. 求证： (1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F. 证明： (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ACA1C1，在 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点所以 DEAC，于是 DEA1C1，又因为 DE?平面 A1C1F，A1C1?
