《2021-2022学年福建省福州市北峰中学高三数学理期末试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年福建省福州市北峰中学高三数学理期末试题含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021-2022学年福建省福州市北峰中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合S=，T=，则ST等于（ ）A(-1，2) B. (0，2) C(-1，) D. (2，)参考答案：D略2. 设集合，则下列关系中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、参考答案：C3. 若对?x，y（0，+），不等式4xlnaex+y2+exy2+2恒成立，则正实数a的最大值是（）AB eCeD2e参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值【专题】综合题；推理和证明【分析】设f（x）=ex+y2+exy2+2，原不
2、等式恒成立，即为不等式4xlnaf（x）恒成立运用基本不等式和参数分离可得2lna在x0时恒成立，令g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值【解答】解：设f（x）=ex+y2+exy2+2，不等式4xlnaex+y2+exy2+2恒成立，即为不等式4xlnaf（x）恒成立即有f（x）=ex2（ey+ey）+22+2ex2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4xlna2+2ex2，即有2lna在x0时恒成立，令g（x）=，g（x）=，令g（x）=0，即有（x1）ex2=1，令h（x）=（x1）ex2，h（x）=xex2，当x0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有
3、（x1）ex2=1的根为2，当x2时，g（x）递增，0x2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为1，则有2lna10a当x=2，y=0时，a取得最大值故选：A【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键4. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：若，则；若则若是两条异面直线，则若则. 其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D4参考答案：C略5. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（A）1（B）1（C）3（D）9参考答案：C略6. 如果，那么的值是 A2 B C D
4、参考答案：C7. 下列集合中，不是方程的解集的集合是（ ）(A) (B) (C) (D) 参考答案：D略8. 一般来说，一个班级的学生学号是从1 开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ）A. 39人B. 49人C. 59人D. 超过59人参考答案：A【分析】根据随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，得到每十个个体被抽到的机会也是均等的，结合题中数据，即可估计出结果.【详解】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，.，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按
5、从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右；故选A【点睛】本题主要考查简单随机抽样，熟记随机抽样的特征即可，属于基础题型.9. 设等差数列的前n项和为，若，则（A）12 （B）8 （C） 20 （D）16参考答案：C10. 有下列命题：两组对应边相等的三角形是全等三角形；“若xy0，则|x|y|0”的逆命题；“若ab，则”的否命题；“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题其中真命题共有()A1个B2个 C3个D4个参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若函数的最小正周期是2,则 参考答案：1
6、12. 已知直线l经过抛物线C：y的焦点F，与抛物线交于A、B，且xA+xB8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为_参考答案：（x4）2+（y4）25【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，直线的斜率，所以，直线的方程为，即.当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：设点，点在直线的下方，则，点到直线的距离为，当时，取最
7、大值，此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.故答案为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13. 已知函数对任意的，有设函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围为 参考答案：14. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC3ccosB=a，则tan（BC）的最大值为参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值【解答】
8、解：2bcosC3ccosB=a，2sinBcosC3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinBcosC=4cosBsinC，tanB=4tanCtan（BC）=故答案为：15. 已知的最大值为 参考答案：16. 已知等差数列an的前n项和为Sn，满足，且，则Sn最大时n的值是 参考答案：9设等差数列的公差为，由，可得，即，得到，所以，由可知，故当时，最大17. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣
9、小组中应抽取人参考答案：8【考点】分层抽样方法【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24=8人故答案为：8三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (理科)已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面为正三角形，如图4所示(1) 证明：平面；(2) 求四棱锥的体积参考答案：证明(1) 直角梯形的，又， 在和中，有，且解(理科)(2)设顶点到底面的距离为结合几何体，可知 又，于是，解得 所以19.
10、 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB2a+b（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积等于，求ab的最小值.参考答案：（1）C；（2）最小值为【分析】（1）由正弦定理，将2ccosB2a+b变形为2sinCcosB2sin(B+C)+sinB，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C的值；（2）由ABC的面积公式得出c与a、b的关系为c=3ab，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab的最小值.【详解】（1）由正弦定理可知：2R，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，其中R为ABC的外接圆半径，由2ccosB2a+b，则2sinCcosB2sin
11、(B+C)+sinB，可得：2sinBcosC+sinB0，由0B，sinB0，cosC，0C，则C；（2）由SabsinCab，则c3ab，又c2a2+b22abcosCa2+b2+ab，由a2+b22ab，当且仅当ab时取等号，可得：2ab+ab9a2b2，即ab，则当ab时，ab取得的最小值为【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.20. 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.参考答案：（1）是和的等差中项， 当时， 当时， ，即 3分数列是
12、以为首项，为公比的等比数列， 5分设的公差为， 6分（2） 7分 9分, 10分数列是一个递增数列 . 综上所述， 12分21. 某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天两个商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出30件以内（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利8元经统计，两个商家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998992899201032111010（1）现从甲商家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都小于30的概率；（2）若将频率视作概率，回答以下问题：记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由参考答案：(1)记“抽取的两天销售量都小于30”为事件A，则P(A)=4分(2)设乙商家的日销售量为a，则当a=28时，X=285=140； 当a=29时，X=295=145；当a=30时，X
