《高考理科数学复习第1部分板块2核心考点突破拿高分专题2第2讲数列求和及数列的简单应用(大题)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考理科数学复习第1部分板块2核心考点突破拿高分专题2第2讲数列求和及数列的简单应用(大题)(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 讲数列求和及数列的简单应用(大题 )热点一等差、等比数列基本量的计算解决有关等差数列、等比数列问题,要立足于两个数列的概念,设出相应基本量,充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略. 例 1(2019六安市第一中学模拟 )已知正数数列 an的前 n 项和为 Sn,满足 a2nSnSn1(n2),a11. (1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn(1an)2a(1 an),若 bn是递增数列,求实数a 的取值范围 . 解(1)a2nSnSn1(n2),a2n1Sn1Sn2(n3). 相
2、减可得a2na2n1anan1,an0,an10,anan11(n3). 当 n2 时, a22a1a2 a1,a222a2,a20, a22. 因此 n2 时, an an11 成立 . 数列 an 是等差数列,公差为1. an1n1n. (2)bn(1 an)2a(1an)(n1)2a(n1),bn是递增数列,bn1bnn2an(n1)2a(n1) 2na10,即 a12n 恒成立, a1. 实数 a 的取值范围是(1, ). 跟踪演练1(2019 乐山调研 )已知等差数列an 中, a25,a1,a4,a13成等比数列 . (1)求数列 an 的通项公式;(2)求数列 an 的前 n 项
3、和 Sn. 解(1)设等差数列 an的公差为d,则 a1 5d,a452d,a13 511d,因为 a1,a4,a13成等比数列,所以 (52d)2 (5 d)(5 11d),化简得 d22d,则 d0 或 d2,当 d0 时, an5. 当 d2 时, a15d3,an3(n1)2 2n1(nN*). 所以,当d 0时, an5(n N*);当 d2 时, an2n1(nN*). (2)由 (1)知,当 an5 时, Sn5n. 当 an 2n1 时, a13,则 Snn 32n12n2 2n(nN*). 热点二数列的证明问题判断数列是否为等差或等比数列的策略(1)将所给的关系式进行变形、转
4、化,以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断;(2)若要判断一个数列不是等差(等比 )数列, 则只需说明某连续三项(如前三项 )不是等差 (等比 )数列即可 . 例 2已知 an是各项都为正数的数列,其前n 项和为 Sn,且 Sn为 an与1an的等差中项 . (1)求证:数列 S2n为等差数列;(2)求数列 an 的通项公式;(3)设 bn1nan,求 bn的前 n 项和 Tn. (1)证明由题意知2Snan1an,即 2Snan a2n1,当 n2 时,有 anSnSn1,代入 式得2Sn(SnSn1) (SnSn1)21,整理得 S2nS2n11(n 2). 又当 n1 时,由 式可得
5、a1 S11(负值舍去 ),数列 S2n是首项为1,公差为1 的等差数列 . (2)解由(1)可得 S2n1 n1n,数列 an 的各项都为正数,Snn,当 n2 时, an SnSn1nn1,又 a1 S11 满足上式,annn1(nN*). (3)解由(2)得 bn1nan1nnn1(1)n(nn 1),当 n 为奇数时,Tn 1(21)(32)(n1n 2)(nn1)n;当 n 为偶数时,Tn 1(21)(32)(n1n 2)(nn1)n,数列 bn 的前 n 项和 Tn(1)nn(nN*). 跟踪演练2已知 Sn为数列 an的前 n 项和,且满足Sn 2ann4. (1)证明: Snn
6、2为等比数列;(2)求数列 Sn 的前 n 项和 Tn. (1)证明原式可转化为Sn2(SnSn1)n4(n2),即 Sn 2Sn1n4,所以 Snn22Sn1(n1)2.由 S1 2a114,得 S1 3,所以 S1124,所以 Snn2是首项为4,公比为2 的等比数列 . (2)解由(1)知 Snn22n1,所以 Sn2n1n2,所以 Tn(2223 2n1)(12n)2n4 12n12n n122n2n3n23n82. 热点三数列的求和问题1.裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项消,有的是间隔项消.常见的裂项方式有:1n n1
7、1n1n1;1n nk1k1n1nk;1n21121n11n1;14n211212n 112n 1. 2.如果数列 an是等差数列, bn是等比数列,那么求数列 an bn 的前 n 项和 Sn时,可采用错位相减法 .用错位相减法求和时,应注意:等比数列的公比为负数的情形;在写出 “Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐 ”,以便准确写出“SnqSn”的表达式 . 例 3(2019河南省九师联盟模拟)已知等差数列 an 的前n 项和为Sn,且满足Snan122 (nN*).数列 bn的前 n 项和为 Tn,且满足 Tn 2bn(nN*). (1)求数列 an 和bn的通项公式;
8、(2)求数列anbn2的前 n 项和 Sn. 解(1)由 Snan122,得 S1a1122a1,解得 a11. 由 S2 a1a21 a2a2122,解得 a23 或 a2 1. 若 a2 1,则 d 2,所以 a3 3. 所以 S3 3a31221,故 a2 1 不合题意,舍去.故 a23,所以等差数列an 的公差 da2 a12,故 an 2n1. 数列 bn对任意正整数n 满足 Tn2bn. 当 n1 时, b1T12b1,解得 b11;当 n1 时, bnTnTn1(2bn)(2bn1)bn1bn,所以 bn12bn1(n2). 所以 bn是以首项b11,公比 q12的等比数列,故数
9、列 bn 的通项公式为bn12n1. (2)由 (1)知anbn22n12n,所以 Sn123225232n32n12n12n,所以12Sn122323 2n32n2n12n1,得12Sn12222223 22n2n12n1121212212n12n12n11212112n11122n 12n112112n12n12n1,所以 Sn32n32n. 跟踪演练3(2019 济宁模拟 )等差数列 an的公差为正数, a11,其前 n 项和为 Sn; 数列 bn为等比数列,b12,且 b2S212, b2 S310. (1)求数列 an 与bn的通项公式;(2)设 cnbn1Sn,求数列 cn的前 n
10、 项和 Tn. 解(1)设等差数列 an的公差为d,等比数列 bn 的公比为q,则2q 2d 12,2q33d10,d0,解得d 1,q 2,ann,nN*,bn2n,nN*. (2)由 (1)知 Snn n12. cnbn1Sn2n2n n12n21n1n1,Tn(22223 2n)21121213 1n1n12 12n122 11n12n12n1. 真题体验(2019 全国 ,理, 19)已知数列 an和bn满足a1 1,b10,4an13anbn4,4bn13bnan4. (1)证明: anbn 是等比数列, an bn是等差数列;(2)求 an和bn的通项公式 . (1)证明由题设得4
11、(an1bn1)2(anbn),即 an1 bn112(anbn). 又因为 a1b11,所以 anbn是首项为1,公比为12的等比数列 . 由题设得4(an1bn1)4(anbn)8,即 an1 bn1anbn2. 又因为 a1b11,所以 anbn是首项为1,公差为 2 的等差数列 . (2)解由(1)知, anbn12n1,anbn2n1. 所以 an12(anbn)(anbn)12nn12,bn12(anbn)(anbn)12nn12. 押题预测已知数列 an为等差数列,a7a210,且 a1, a6,a21依次成等比数列. (1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn1anan1,
12、数列 bn的前 n 项和为 Sn,若 Sn225,求 n 的值 . 解(1)设数列 an的公差为d,因为 a7a2 10,所以 5d10,解得 d 2. 因为 a1,a6,a21依次成等比数列,所以a26a1a21,即(a152)2a1(a1202),解得 a15. 所以 an2n3. (2)由 (1)知 bn1anan112n3 2n5,所以 bn1212n312n5,所以 Sn121517171912n312n5n5 2n5,由n5 2n5225,得 n10. A 组专题通关1.(2019日照模拟 )已知数列 an是等差数列,其前n 项和为 Sn,且 a12,S312. (1)求数列 an
13、 的通项公式;(2)令 bn2an,求数列 bn的前 n项和 Tn. 解(1)因为数列 an是等差数列,由 S3 12,得 3a212,所以 a24,又 a1 2,所以公差d2,所以 an2(n1) 22n,故数列 an 的通项公式an 2n(nN*). (2)由 (1)知, bn22n4n,所以数列 bn是首项为4,公比 q4 的等比数列,所以数列 bn的前 n 项和 Tn4 1 4n1443(4n1). 2.(2019潍坊模拟 )Sn为等比数列 an 的前 n 项和,已知a49a2,S313,且公比q0. (1)求 an及 Sn;(2)是否存在常数 ,使得数列 Sn 是等比数列?若存在,求
14、 的值;若不存在,请说明理由. 解(1)由题意得a1q39a1q,a11q31q13,q0,解得q3,a11,所以 ana1qn13n1,n N*,Sn1 13n133n12,nN*. (2)假设存在常数 ,使得数列 Sn 是等比数列,因为 S1 1,S2 4,S3 13,又因为 (S2 )2(S1 ) (S3 ),所以 ( 4)2( 1) ( 13),所以 12,此时, Sn12123n,则Sn112Sn12123n1123n3,故存在 12,使得数列Sn12是以 S11232为首项, 3 为公比的等比数列. 3.(2019江南十校模拟 )已知数列 an 与bn 满足: a1 a2a3 an
15、2bn(nN*),且 an 为正项等比数列,a12,b3b24. (1)求数列 an 与bn的通项公式;(2)若数列 cn 满足 cnanbnbn1(nN*),Tn为数列 cn的前 n 项和,证明:Tn0,设 an 的公比为 q,a1q28? q2,an22n12n(nN*). 2bn2122232n2 12n122n12,bn2n1(nN*). (2)证明由已知 cnanbn bn12n2n 1 2n1112n112n11,Tnc1c2 cn1211122112211231 12n112n1 1112n11,当 nN*时, 2n11,12n110,112n111,即 Tn1. B 组能力提高4.已知数列 an满足 a12,an12(Snn1)(nN*),令 bnan1. (1)求证: bn 是等比数列;(2)记数列 nbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn;(3)求证:12123n1a11a21a31an13k,得1a11a21a3 1an1313213n13113n113121213n. 又1ak13k13k113k 1 3k113k13k1 3k113213k113k11,所以1a11a21a3 1an1232132113311331134113n113n111232132113n11123163213n111116,故1212 3n1a11a21a3 1an1116.