《高考理科数学复习第1部分板块2核心考点突破拿高分专题2第2讲数列求和及数列的简单应用(大题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学复习第1部分板块2核心考点突破拿高分专题2第2讲数列求和及数列的简单应用(大题)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 讲数列求和及数列的简单应用(大题 )热点一等差、等比数列基本量的计算解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略. 例 1(2019六安市第一中学模拟 )已知正数数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 a2nSnSn1(n2)，a11. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn(1an)2a(1 an)，若 bn是递增数列，求实数a 的取值范围 . 解(1)a2nSnSn1(n2)，a2n1Sn1Sn2(n3). 相
2、减可得a2na2n1anan1，an0，an10，anan11(n3). 当 n2 时， a22a1a2 a1，a222a2，a20， a22. 因此 n2 时， an an11 成立 . 数列 an 是等差数列，公差为1. an1n1n. (2)bn(1 an)2a(1an)(n1)2a(n1)，bn是递增数列，bn1bnn2an(n1)2a(n1) 2na10，即 a12n 恒成立， a1. 实数 a 的取值范围是(1， ). 跟踪演练1(2019 乐山调研 )已知等差数列an 中， a25，a1，a4，a13成等比数列 . (1)求数列 an 的通项公式；(2)求数列 an 的前 n 项
3、和 Sn. 解(1)设等差数列 an的公差为d，则 a1 5d，a452d，a13 511d，因为 a1，a4，a13成等比数列，所以 (52d)2 (5 d)(5 11d)，化简得 d22d，则 d0 或 d2，当 d0 时， an5. 当 d2 时， a15d3，an3(n1)2 2n1(nN*). 所以，当d 0时， an5(n N*)；当 d2 时， an2n1(nN*). (2)由 (1)知，当 an5 时， Sn5n. 当 an 2n1 时， a13，则 Snn 32n12n2 2n(nN*). 热点二数列的证明问题判断数列是否为等差或等比数列的策略(1)将所给的关系式进行变形、转
4、化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；(2)若要判断一个数列不是等差(等比 )数列， 则只需说明某连续三项(如前三项 )不是等差 (等比 )数列即可 . 例 2已知 an是各项都为正数的数列，其前n 项和为 Sn，且 Sn为 an与1an的等差中项 . (1)求证：数列 S2n为等差数列；(2)求数列 an 的通项公式；(3)设 bn1nan，求 bn的前 n 项和 Tn. (1)证明由题意知2Snan1an，即 2Snan a2n1，当 n2 时，有 anSnSn1，代入 式得2Sn(SnSn1) (SnSn1)21，整理得 S2nS2n11(n 2). 又当 n1 时，由 式可得
5、a1 S11(负值舍去 )，数列 S2n是首项为1，公差为1 的等差数列 . (2)解由(1)可得 S2n1 n1n，数列 an 的各项都为正数，Snn，当 n2 时， an SnSn1nn1，又 a1 S11 满足上式，annn1(nN*). (3)解由(2)得 bn1nan1nnn1(1)n(nn 1)，当 n 为奇数时，Tn 1(21)(32)(n1n 2)(nn1)n；当 n 为偶数时，Tn 1(21)(32)(n1n 2)(nn1)n，数列 bn 的前 n 项和 Tn(1)nn(nN*). 跟踪演练2已知 Sn为数列 an的前 n 项和，且满足Sn 2ann4. (1)证明： Snn
6、2为等比数列；(2)求数列 Sn 的前 n 项和 Tn. (1)证明原式可转化为Sn2(SnSn1)n4(n2)，即 Sn 2Sn1n4，所以 Snn22Sn1(n1)2.由 S1 2a114，得 S1 3，所以 S1124，所以 Snn2是首项为4，公比为2 的等比数列 . (2)解由(1)知 Snn22n1，所以 Sn2n1n2，所以 Tn(2223 2n1)(12n)2n4 12n12n n122n2n3n23n82. 热点三数列的求和问题1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有：1n n1
7、1n1n1；1n nk1k1n1nk；1n21121n11n1；14n211212n 112n 1. 2.如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，那么求数列 an bn 的前 n 项和 Sn时，可采用错位相减法 .用错位相减法求和时，应注意：等比数列的公比为负数的情形；在写出 “Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐 ”，以便准确写出“SnqSn”的表达式 . 例 3(2019河南省九师联盟模拟)已知等差数列 an 的前n 项和为Sn，且满足Snan122 (nN*).数列 bn的前 n 项和为 Tn，且满足 Tn 2bn(nN*). (1)求数列 an 和bn的通项公式；
8、(2)求数列anbn2的前 n 项和 Sn. 解(1)由 Snan122，得 S1a1122a1，解得 a11. 由 S2 a1a21 a2a2122，解得 a23 或 a2 1. 若 a2 1，则 d 2，所以 a3 3. 所以 S3 3a31221，故 a2 1 不合题意，舍去.故 a23，所以等差数列an 的公差 da2 a12，故 an 2n1. 数列 bn对任意正整数n 满足 Tn2bn. 当 n1 时， b1T12b1，解得 b11；当 n1 时， bnTnTn1(2bn)(2bn1)bn1bn，所以 bn12bn1(n2). 所以 bn是以首项b11，公比 q12的等比数列，故数
9、列 bn 的通项公式为bn12n1. (2)由 (1)知anbn22n12n，所以 Sn123225232n32n12n12n，所以12Sn122323 2n32n2n12n1，得12Sn12222223 22n2n12n1121212212n12n12n11212112n11122n 12n112112n12n12n1，所以 Sn32n32n. 跟踪演练3(2019 济宁模拟 )等差数列 an的公差为正数， a11，其前 n 项和为 Sn； 数列 bn为等比数列，b12，且 b2S212， b2 S310. (1)求数列 an 与bn的通项公式；(2)设 cnbn1Sn，求数列 cn的前 n
10、 项和 Tn. 解(1)设等差数列 an的公差为d，等比数列 bn 的公比为q，则2q 2d 12，2q33d10，d0，解得d 1，q 2，ann，nN*，bn2n，nN*. (2)由 (1)知 Snn n12. cnbn1Sn2n2n n12n21n1n1，Tn(22223 2n)21121213 1n1n12 12n122 11n12n12n1. 真题体验(2019 全国 ，理， 19)已知数列 an和bn满足a1 1，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4. (1)证明： anbn 是等比数列， an bn是等差数列；(2)求 an和bn的通项公式 . (1)证明由题设得4
11、(an1bn1)2(anbn)，即 an1 bn112(anbn). 又因为 a1b11，所以 anbn是首项为1，公比为12的等比数列 . 由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1 bn1anbn2. 又因为 a1b11，所以 anbn是首项为1，公差为 2 的等差数列 . (2)解由(1)知， anbn12n1，anbn2n1. 所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12. 押题预测已知数列 an为等差数列，a7a210，且 a1， a6，a21依次成等比数列. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn1anan1，
12、数列 bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn225，求 n 的值 . 解(1)设数列 an的公差为d，因为 a7a2 10，所以 5d10，解得 d 2. 因为 a1，a6，a21依次成等比数列，所以a26a1a21，即(a152)2a1(a1202)，解得 a15. 所以 an2n3. (2)由 (1)知 bn1anan112n3 2n5，所以 bn1212n312n5，所以 Sn121517171912n312n5n5 2n5，由n5 2n5225，得 n10. A 组专题通关1.(2019日照模拟 )已知数列 an是等差数列，其前n 项和为 Sn，且 a12，S312. (1)求数列 an
13、 的通项公式；(2)令 bn2an，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解(1)因为数列 an是等差数列，由 S3 12，得 3a212，所以 a24，又 a1 2，所以公差d2，所以 an2(n1) 22n，故数列 an 的通项公式an 2n(nN*). (2)由 (1)知， bn22n4n，所以数列 bn是首项为4，公比 q4 的等比数列，所以数列 bn的前 n 项和 Tn4 1 4n1443(4n1). 2.(2019潍坊模拟 )Sn为等比数列 an 的前 n 项和，已知a49a2，S313，且公比q0. (1)求 an及 Sn；(2)是否存在常数 ，使得数列 Sn 是等比数列？若存在，求
14、 的值；若不存在，请说明理由. 解(1)由题意得a1q39a1q，a11q31q13，q0，解得q3，a11，所以 ana1qn13n1，n N*，Sn1 13n133n12，nN*. (2)假设存在常数 ，使得数列 Sn 是等比数列，因为 S1 1，S2 4，S3 13，又因为 (S2 )2(S1 ) (S3 )，所以 ( 4)2( 1) ( 13)，所以 12，此时， Sn12123n，则Sn112Sn12123n1123n3，故存在 12，使得数列Sn12是以 S11232为首项， 3 为公比的等比数列. 3.(2019江南十校模拟 )已知数列 an 与bn 满足： a1 a2a3 an
15、2bn(nN*)，且 an 为正项等比数列，a12，b3b24. (1)求数列 an 与bn的通项公式；(2)若数列 cn 满足 cnanbnbn1(nN*)，Tn为数列 cn的前 n 项和，证明：Tn0，设 an 的公比为 q，a1q28? q2，an22n12n(nN*). 2bn2122232n2 12n122n12，bn2n1(nN*). (2)证明由已知 cnanbn bn12n2n 1 2n1112n112n11，Tnc1c2 cn1211122112211231 12n112n1 1112n11，当 nN*时， 2n11，12n110，112n111，即 Tn1. B 组能力提高4.已知数列 an满足 a12，an12(Snn1)(nN*)，令 bnan1. (1)求证： bn 是等比数列；(2)记数列 nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn；(3)求证：12123n1a11a21a31an13k，得1a11a21a3 1an1313213n13113n113121213n. 又1ak13k13k113k 1 3k113k13k1 3k113213k113k11，所以1a11a21a3 1an1232132113311331134113n113n111232132113n11123163213n111116，故1212 3n1a11a21a3 1an1116.
