高等数学内容教学难点分析与突破例谈摘 要：本文分析了高等数学内容中的教学难点，提出了突破教学 难点的三种方法：搭建合适的台阶、循序渐进和“浅入深出”关键词：高等数学教学难点搭建台阶循序渐进浅入深出教学难点是指学生不易理解的知识,或不易掌握的技能技巧如高等 数学内容中一元函数在一点处的极限定义，一元函数在一点处的导数定 义，定积分的概念，变上限积分的概念及英求导，定积分的应用，多元函 数的多重极限，多元函数的可微分，常微分方程在物理上的应用，等等， 都是学生不易理解的知识；另外，不定积分的计算方法，求解某些二阶微 分方程的方法等，都是学生不易掌握的技能技巧难点有时要根据学生的实际水平来定，同样一个问题在不同班级的不 同学生中，就可以是难点也可以不是难点如分部积分法对于专科学生来 说，就是难点，而对于本科学生来说就不是难点在一般情况下，使大多 数学生感到困难的内容，就是教学难点也可以说教学难点是由于新内容 与学生已有的认知水平之间存在较大的落差而产生的因此，要找出教学 难点，就要分析学生已有的认知水平，分析以往学生学这些内容时容易犯 的错误教师要着力采用各种有效办法对教学难点加以突破，否则不但这部分 内容学生听不懂学不会，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困 难。
如一元函数在一点处的极限定义如果没有弄清楚，那么一元函数的连 续性，一元函数在一点处的导数，定积分的概念，其至于多元函数的极限, 多元函数的可微分性等就都会学不会那么怎样突破教学难点呢？既然教学难点是由于新内容与学生已有 的认知水平之间存在较大的落差而产生的，那么就要分析这个落差，搭建 合适的台阶例如，要突破“变上限积分的概念及其求导”这个教学难点, 首先分析：变上限积分不是一般的定积分，其值不是常数，而是一个函数 （自变量为上限变量），如果被积函数在某个闭区I可上连续，则这个变上 限积分可导，其导数等于被积函数在上限处的值然后，在教学中搭建合 适的台阶：第一定义变上限积分，让学生掌握其标准形式，老师强调被积 函数的自变量与积分变量相同，否则，要求学生通过换元变成相同的变量 第二给出变上限积分的第一个性质，若被积函数在某个闭区间上连续，则 上限变量趋于下限值时，对应的变上限积分是一个无穷小量；对此利用积 分中值定理和闭区间上的连续函数的有界性及无穷小的性质进行证明第 三给出变上限积分的第二个性质，即课木上的原函数存在定理，对此除了 要进行证明以外，还要让学生判别所要求导的这个变上限积分是否为求导 变量的复合函数,如果是复合函数就要利用复合函数的求导法则求导。
最 后，使学生掌握变上限积分的两个性质的应用：第一个性质可用于利用洛 必达法则求不定式的极限，第二个性质可用于含变上限积分的式子或方程 的求解，英中求解的过程中需耍求导要攻克教学难点，极其重要的一条就是循序渐进，一个5m高的哨壁, 没有专门的工具，没有经过专业训练的人是很难攀登的，而泰山那么高， 一般的人都爬得上去，就是因为泰山开凿了一般健康人都能接受的台阶 教学也是一样的道理，耍遵循循序渐进的原则例如二阶线性微分方程在 电学上的应用实例的讲解：首先要复习和补充电学中有关的知识和概念， 如电容、电感的定义,电容、电感的计算公式，串联电路的几大特点;然 后才能根据回路定律得出串联电路的振荡方程；最后进行讨论求解同理, 在教学二阶线性微分方程在力学上的应用实例时，首先要介绍实例的相应 的背景知识并介绍有关的概念，如弹性恢复力、绳子的张力等，然后进行 受力分析，并根据有关的物理定律建立振动方程，最后讨论求解要攻克教学难点，极其重要的另一条就是“浅入深出”成语“深入 浅出”，是指讲话或文章的内容深刻，语言文字却浅显易懂而我认为教 学，尤其是数学教学要“浅入深出”，这里的“浅入深出”是从字面意思 理解的，“浅入”是指导入要浅显，从简单的例子或者从生活中实际的例 子引入教学，“深岀”是指从浅显的例子中归纳出规律性的东西，比如定 律、法则等。
如在教学定积分的概念时，宜先学习曲边梯形的面积、变速 直线运动的路程的求解计算步骤，然后分析：虽然所耍计算的量，即曲边 梯形的曲积A及变速直线运动的路程S的实际意义不同，前者是几何量后 者是物理量，但是它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次， 计算这些量的方法与步骤都是相同的，并且它们都可以归结为具有相同的 结构的一种特定和的极限，抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关 系上共同的本质与特性加以概括，就可以抽象出定积分的定义要做到“浅入深出”，教师对教材研究必须深入透彻，且能创造性地 处理教材苏霍姆林斯基的《给教师的建议》中有这样一段话:“应当在 你所教的那门科学领域里,使学校教科书里包含的那点科学基础知识，对 你来说只不过是入门的常识在你的科学知识的大海里，你所教给学生的 教科书里的那点基础知识，应当貝是沧海之一粟如果一个教师在他刚 参加教育工作的头几年里所具备的知识，与他要教给儿童的最低限度知识 的比例为10： 1,那么到他有了 15年至20年教龄的时候，这个比例就变 为20： 1, 30： 1, 50： 1有了这样的积淀才能真正实现“浅入深出”， 达到“深入浅出”的教学效果。
参考文献：[1]同济大学数学系•高等数学（上册）[M] •第6版•北京：高等教育 出版社，2007.。