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1、GI/G/1 排队系统队长的强大数定律和中心极限定理董海玲(深圳大学数学与计算科学学院,深圳 , 518060)摘要 ：本文首先证明当服务强度小于1 时,GI/G/1 排队系统的队长是一个特殊的马尔可夫骨架过程 正常返的 Doob 骨架过程 , 然后运用马尔可夫骨架过程的强大数定律和中心极限定 理等重要结果, 给出了队长的累积过程的期望和方差, 并给出了该累积过程满足强大数定律和中心极限定理的充分条件.关键词 ： GI/G/1 排队系统 ;队长 ;马尔可夫骨架过程;强大数定律 ;中心极限定理Law of Strong Large Numbers and Central Limit Theore
2、m of Queue Length in a GI/G/1 Queueing SystemDong Hailing(School of Mathematics and Computer Science, Shenzhen University, 518060)Abstract First, when service intensity is less than 1, the queue length in aGIG1 queueingsystem is proved to be a positiverecurrent Doob skeleton process, which is a spec
3、ial case of Markov skeleton processes. Second, the expectation and variance of the cumulative process of the queue length are obtained by using law of strong large numbers, central limit theorem and other importantresults of Markovskeleton processes. Andfinally,sufficientconditionsfor lawof strong l
4、arge numbers and central limit theorem of the accumulated process are given, respectively.Keywords GI/G/1 queueing system; Queue Length; Markov skeleton processes; Law of strong large numbers; Central limit theorem1. 引言近几十年来 ,随着马尔可夫理论的不断深入和完善,关于排队论的研究得到了很大程度上的丰富和发展,获得了一系列研究成果,代表性文献参见 1-6.然而, 关于 GI/G
5、/1排队系统 ,由于其到达时间和服务时间都服从一般的分布,队长过程不再是马尔可夫过程 ,也无法通过嵌入马尔可夫链的方法来进行研究,因此关于这方面的研究相对较少.侯振挺教授 7 给出了 GI/G/1排队系统队长的瞬时分布,文献8 给出了队长的极限分布,本文主要研究该队长的累积过程的期望和方差, 大数定律和中心极限定理 .本文讨论的GIG2. GI/G/1 排队系统1排队系统细节如下（参见文献9 ）：(i) 顾客到达系统的时间间隔是独立同分布的随机变量, 其分布函数是A( x) .令00 ,12为0之后顾客 陆续 到 达服 务台的 时刻 ,到达时 间间隔tmmm1 ,于是A(t )P(tmt )(
6、 m1 2)1xdA( x) .0(ii) 每个顾客的服务时间为独立同分布的随机变量,其分布函数是B( x) , 并且与tmmZ独立. 令v0为t0时系统的所有顾客总的剩余服务时间（即系统的剩余工作负荷） , vi (i1 2)为 t0之后第i个到达系统的顾客的服务时间.于是B(t)P(vit)(i1 2)1xdB( x) .0(iii) 有一个服务员 , 且按先到先服务规则进行服务.令称为系统的服务强度 . 假定A(0)0B (0)00.基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目(11001179)3. 队长的强大数定律和中心极限定理设Lt表示GI/G/1排队系统在时刻t的队长（即时刻t在服
7、务台前等待的顾客数与正在被服务的顾客数之和）. 令inf tL(t)0d如果上述集合为空001inf ttd L (t )1如果上述集合为空n 1nn1n1 2根据繁 忙循 环的定义 ,n 表 示从 0 开始 , 第 n 个繁忙 循环 开始的时 刻.令Y01Yii 1i i1, 则Yi表示第 i 个繁忙循环的长度 .i引理1.10 如果1, 则 EY 1 exp1akk 1k(1)其中ak1A(k) (x) dB( k) (x) .0定理1. 对于Doob 骨架过程 .GIG1 排队中的队长L(t ), 如果1,L(t)是正常返的证明:(1) 已知n 表示第 n 个繁忙循环开始的时刻 ,此时,
8、 L(n )1, 则 n 之 后L(t) 的取值 ,仅依赖于n 时刻 L(t ) 的值,与前面的繁忙周期中队长的取值完全无关,即L (t) 在n n1处有马尔可夫性.于是 , L(t )是一个马尔可夫骨架过程,n n1为其骨架时序列 . (2)对于n1 ,L(n )1, 即 L(n ) 服从聚点分布8I1 ( x), 根据定义 3.1.2 8 , L(t )是以 n 为更新点的Doob骨架过程.(3)如果1, 根据引理 3.1, mEYi 于是根据定义 3.1.3,L(t )是一个正常返的 Doob 骨架过程 .由于 L(t )是以n为更新点的Doob骨架过程 ,根据引理 3.1.38 知Yi
9、i1 为独立同分布的随机变量序列,设F (t )为 Yi i1的分布函数 . 令m m 2分别表示 Yi 的期望和二阶矩 .令y01L( s) ds yi0i 1,iL(s)dsi1则 yi i1 表示L (s)在两个更新点12之间的累积过程 . 由 L (s)为正常返的 Doob骨架过程和 Yii1 为独立同分布的随机变量序列可得, yi i1 也为独立同分布的随机变量序列. 令2分别为yi 的期望和方差,ttL(s)ds ZnN tmaxn tn 1tW 2max (n tn 1t) 2n0 1 2,n其中 Nt 表示t 之前更新点的数目 .6 引理 2.设T10 T20为独立同分布的随机
10、变量序列,其共同的分布函数为A(x) , 期望A.令1 为一随机变量满足E, 并且对于任意的n, TnTn 1与 n独立, 则CT1T2T的分布函数K (x) 为非格子分布当且仅当A( x) 是非格子分布 .定理 2. 对于 GIG1中的队长L (t ), 如果1,A(t)是非格子的 ,(i) 如果1, EV110, EL( s) ds, 则当t时,有tE(L (s)ds)201 to(t) m(2)(ii) 如果1, EV1,m,2, E (Wn ), Var1L( s)ds, 其中0222 分别是 Y 和y 的方差, 则当 t时,12iiVar (tL(s)ds)(22 (1 )2 ) t
11、o(t)(3)021mm证明:当 A(t )是非格子分布时 ,根据引理 3.2,Yi i1的分布函数F (t)也是非格子分布 . 如果1,由定理 3.1可知L(t)是正常返的 Doob骨架过程 .于是,根据定理3.3.38可得(2)式和(3)式成立 ,定理得证 .定理 3. (强大数定律 )对于GIG1 中的队长L(t), 如果1,A(t ) 是非格子的 ,1, EV11,L(s)ds,则对任意的0 ,下式几乎必然成立0tlimtL (s) ds01tm(4)证明:当 A(t )是非格子分布时 ,根据引理 3.2,Yi i1的分布函数F (t ) 也是非格子分布 . 如果1,由定理 3.1可知
12、据定理3.3.28可得(4)式成立 ,定理得证 .L(t) 是正常返的 Doob骨架过程 .于是,根定理 4. (中心极限定理 )对于 GIG1 中的队长L (t), 如果1,A( x)是非格子的 ,1,EV1,m2t1则,L(s)ds,0lim PL( s) dst1m01()(5)()tt2m其中() 是一标准正态分布 ,2var( y1 Y ) .imi证明:当A(t) 是非格子分布时 ,根据引理 3.2,Yi i1的分布函数F (t ) 也是非格子分布. 如果1,由定理 3.1可知定理 3.3.48 可得(5)式成立 ,定理得证 .L(t) 是正常返的 Doob骨架过程 .于是,根据参考文献1 Kendall, G. Some problems in the theory of queues J. J. Roy. Statist. Soc. (Series. B), 1951, 13,151-185.2 Kendall, G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of imbedded Markov chains J. Ann. Math. St
