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1、2021年天津第五十四中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)=2x(x0)，其值域为D，在区间(1,2)上随机取一个数x，则xD的概率是（ ）A B CD 参考答案：B函数 的值域为 ，即 ，则在区间上随机取一个数 的概率 故选B 2. 设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则参考答案：B略3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1D1参考答案：B略
2、4. 已知f（x）=2x+3（xR），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是( )ABCD参考答案：A考点：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：化简|f（x）1|a得x化简|x+1|b得b1xb1，由题意可得（， ）?（b1，b1），故b1，b1，由此求得a，b之间的关系解答：解：|f（x）1|a即|2x+2|a，即a2x+2a，即 x|x+1|b即bx+1b 即b1xb1|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），（， ）?（b1，b1），b1，b1，解得b，故选A点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的
3、定义，绝对值不等式的解法，属于中档题5. 若函数f（x）=sinx的图象的两条相互垂直的切线交于P点，则点P的坐标不可能是（）A（，）B（，）C（，）D（，）参考答案：D6. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域向中随机投一点，则该点落入中的概率为A B C D参考答案：C7. 已知函数，的最小值为a，则实数a的取值范围是A B C D参考答案：C因为的最小值为且 时 ，故恒成立，也就是，当时，有；当时，有，故，所以选C8. 已知，则的表达式为（ ） B C D参考答案：A9. 给出下列命题：在区间上，函数,中有三个是增函数；若，则；若函数是奇函数，则的图象关于点对
4、称；已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （A） （B） （C） （D）参考答案：C在区间上,只有，是增函数，所以错误。由，可得，即，所以，所以正确。正确。当时，由，可知此时有一个实根。当时，由，得，即，所以正确。所以正确命题的个数为3个。选C.10. 求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（ ） A B C D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 参考答案：12. 若变量x，y满足，目标函数z=2ax+by（a0，
5、b0）取得最大值的是6，则的最小值为参考答案：7+4【考点】7C：简单线性规划；7F：基本不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2ax+by（a0，b0）得y=x+，则直线的斜率k=0，截距最大时，z也最大平移直y=+，由图象可知当直线y=+经过点A时，直线y=+截距最大，此时z最大，由，解得x=9，y=12即A（9，12），此时z=18a+12b=6，即3a+2b=1，=（）（3a+2b）=3+4+7+2=7+4，当且仅当b=a时，取等号，故的
6、最小值为7+4，故答案为：7+413. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）参考答案：C结合题目中的三视图可知，A、B中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥；D中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，只有C是不可能的。10某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列，使得，记,则的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】要使，需出现3个1，一个-1，所以基本事件的总数是，满足的基本事件有4个，所以的概率为。14. 函数在区间 上的值域是,则的最小值是_.参考答案： 15. 已知函数，若，则函数f(x)的单调递增区间为_参考答案：因为，所以所
7、以，由得单调增区间为.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间16. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是参考答案：考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）据此可得出答案解答： 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），
8、（3，4）其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）故所求事件的概率P=故答案为点评： 把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可17. 若正实数满足，则当取最小值时，的值为_.参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。（1）求的值；（2）设=，求ABO的面积S的最小值；（3）在（2）的条件下若S，求的取值范围。参考答案：根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x
9、可得-4my-4=0.设A、B点的坐标分别为（，），（，）（0），则=-4.因为=4，=4，所以=1，故=+=-3 4分(2)因为=，所以（1-，-）=（-1，）即 1-=- -=又=4 =4 ，由消去，后，得到=，将其代入，注意到0，解得=。从而可得=-，=2，故OAB的面积S=因为2恒成立,故OAB的面积S的最小值是2(8分).(3)由 解之的 12分19. 已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（1）求椭圆方程；（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求OAB面积的最大值参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）依题意有c=2， =，又a2=b2+c2，联立
10、解出即可得出（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x3）与椭圆方程联立可得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，利用根与系数的关系可得：SOAB=|OM|?|y1y2|=3=3，令3k2+1=t1，可得SOAB=3=3，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）依题意有c=2， =，又a2=b2+c2，可得a2=6，b2=2故椭圆方程为=1（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x3）联立方程组，消去x得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，y1+y2=，y1y2=，SOAB=|OM|?|y1y2|=3=3=3=3，令3k2+1
11、=t1，则SOAB=3=3，当且仅当t=，即k2=，k=时取等号OAB面积的最大值为20. 已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+，利用f（x）的最小值为2，求a的值【解答】解：（1）函数=，f（x）的最小正周期为；（2）当时，2x+，f（x）的最小值为1+a+1=2，a=221. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆左焦点F
12、的直线l交于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求的最小值参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）设出A，B坐标，讨论直线l的斜率，根据根与系数的关系得出，求出的最大值即可；【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（ab0），则，解得a2=2，b2=1，椭圆的标准方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x12，y1），=（x22，y2），=（x12）（x22）+y1y2=x1x22（x1+x2）+4+y1y2当直线l垂直x轴时，x1=x2=1，y1=y2且y12=，=9=当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=k（x+1），联立方程组，得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=+4=对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，即的最小值为22. 如图,中， ，,（1）求证：平面EPB平面PBA；（2）求二面角的平面角正切值的大小参考答案：解：（1）， 又， ,又，面PAB，面PAB， 4分（2）过B点作BFAD于F，过F作FMPD于M，联结BMBFAD BFPA BF面PAD BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，BMPDBMF为二面角B-PD-A的平面角
