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1、甘肃高三数学月考测验无纸试卷1、选择题已知集合,集合 ,求 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解出集合 、 ,再利用集合交集运算律可求出集合 。 解不等式 ,即 ,解得 , . 解不等式 ,解得 , , 因此, ,故选:B。2、选择题若、 、 ,且 ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 对 ,利用分析法证明;对 ,不式等两边同时乘以一个正数,不等式的方向不变,乘以0再根据不等式是否取等进行考虑;对 ,考虑 的情况;对 ,利用同向不等式的可乘性. 对 , ,因为 大小无法确定,故 不一定成立; 对 ,当 时,才能成立,故 也不一
2、定成立; 对 ,当 时不成立,故 也不一定成立; 对 , ,故 一定成立. 故选:D.3、选择题下列命题的说法错误的是( )A. 对于命题p:xR,x2+x+10,则p:x0R,x02+x0+10 B. “x=1“是“x23x+2=0“的充分不必要条件 C. “ac2bc2“是“ab“的必要不充分条件 D. 命题“若x23x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x1,则x23x+20” 【答案】 C 【解析】 对于命题p:xR,x2+x+10,则p: x0R,x02+x0+10,是真命题; “x=1”是“x23x+2=0“的充分不必要条件,是真命题; 若c=0时,不成立,是假命题; 命题“若x
3、23x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x1,则x23x+20”,是真命题; 故选:C.4、选择题已知等差数列的前n项和为 ,则 A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 【答案】 D 【解析】 利用等差数列的前n项和公式 ,及等差数列的性质 ,即可求出结果. 等差数列 的前n项和为 , . 故选D.5、选择题已知双曲线的离心率为 ,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据双曲线离心率可求得 ,代入椭圆方程中,根据椭圆 可构造出离心率,化简得到结果. 由双曲线离心率得: ,解得: 椭圆方程为 椭圆离心率 故选:6、选择题函数的大致图象是( )
4、 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用奇偶性定义可知 为偶函数,排除 ;由 排除 ,从而得到结果. 为偶函数,图象关于 轴对称,排除 又 ,排除 故选:7、选择题将函数图象向左平移 个单位长度,则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 将函数 图象向左平移 个单位长度,可得 , 即 ,令 ,解得 , 则平移后图像的对称轴方程为 , 故选A.8、选择题在中, 边上的中线 的长为 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答
5、案】 D9、选择题某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形,其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥。底面三角形两直角边分别为3、4,棱锥高为6.则棱锥体积为 。故A正确。10、选择题已知,点 是圆 上任意一点,则 面积的最大值为 ( ) A. 8 B. C. 12 D. 【答案】 C 【解析】 由三角形面积公式可得,只需求出 到直线 的距离最大值即可得结果. 由两点间距离公式可得 , 由两点式可得直线 方程为 , 圆心 到直线 的距离 , 圆的半径 , 所以点 到直线 距离的最大值为 , 面积的最大
6、值为 ,故选C.11、选择题函数,函数 ,(其中 为自然对数的底数, )若函数 有两个零点,则实数 取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先分离变量,转化为求对应函数单调性及其值域,即可确定结果. 由 得 , 令 ,则 , 所以当 时, , 当 时, , 因此当 时,函数 有两个零点,选C.12、选择题已知双曲线,过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为 A. B. C.2 D. 【答案】 B 【解析】 求得直线 的方程,联立直线的方程和双曲线的方程,求得 两点坐标的关系,根据 列方程,化简后求得离
7、心率. 设 ,依题意直线 的方程为 ,代入双曲线方程并化简得 ,故 ,设焦点坐标为 ,由于以 为直径的圆经过点 ,故 ,即 ,即 ,即 ,两边除以 得 ,解得 .故 ,故选B.13、填空题已知, 满足约束条件 ,则 的最小值是_ 【答案】 【解析】 作出不等式组对应的平面区域,利用 的几何意义,即可得到结论 解:作出 , 满足约束条件 的对应的平面区域如图: 由 得 , 平移直线 , 由图象可知当直线 经过点 时,直线的纵截距最小, 此时 最小,由 解得 , 此时 , 故答案为: 14、填空题动点椭圆 上,过 作 轴的垂线,垂足为 ,点 满足 .则点 的轨迹方程_. 【答案】 【解析】 设 ,
8、 , ,根据题意列出等式,然后根据 在椭圆 上,代入即得。 解:令 , , 则 , 即 代入 可得 即 故答案为:15、填空题已知函数, , ,则数列 的通项公式为_ 【答案】 【解析】 先证明函数 为奇函数,故 的图像关于 对称,故 ,由此将 的表达式两两组合求它们的和,然后求得 的表达式. 由于 ,所以函数 为奇函数,故 的图像关于 对称,由此得到 ,所以 .16、解答题已知函数, (1)求函数 的单调增区间; (2)求方程 在(0, 内的所有解 【答案】 (1) , ;(2) 或 【解析】 先将 进行恒等变换化为正弦型函数,(1)直接利用正弦函数的单调增区间得到 , ,解得x的范围即可.
9、 (2)令 ,解得x的值,对k进行赋值,使得x落在 内,即得结果. (1)由 , ,解得: , . 函数 的单调增区间为 , (2)由 得 ,解得: ,即 , , 或 17、解答题已知数列是等差数列,前 项和为 ,且 , (1)求 (2)设 ,求数列 的前 项和 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)由数列 是等差数列,所以 ,解得 ,又由 ,解得 , 即可求得数列的通项公式; (2)由(1)得 ,利用乘公比错位相减,即可求解数列的前n项和 (1)由题意,数列 是等差数列,所以 ,又 , , 由 ,得 ,所以 ,解得 , 所以数列的通项公式为 (2)由(1)得 , , , 两式相减得 ,
10、, 即 18、解答题在中,角 , , 所对的边分别是 , , ,已知 . ()求角 的大小; ()若 , ,求 的面积. 【答案】 (1) (2) 【解析】 ()由正弦定理得到 ,再由三角形的内角间的关系得到 ,解得 ,进而得到结果;()结合余弦定理得到 ,代入参数值得到 ,根据三角形面积公式得到结果即可. ()根据正弦定理, , 整理得 , 即 , 而 ,所以 ,解得 , 又 ,故 ; ()根据余弦定理, , 又 , , , 故 ,解得 , 所以 .19、解答题如图,在四棱锥中,底面 为菱形, , , , ,点 为 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
11、 【答案】 (1)证明见解析;(2) 【解析】 (1)求出 和 的数量关系,根据勾股定理可证 ,又 是正三角形,所以 ,根据直线与平面垂直的判定定理,可证 平面 ; (2)建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量所成的余弦值,从而可以求出平面 与平面 所成二面角的正弦值. (1)证明:连结 , ,因为底面 为菱形, , 故 ,又 为 的中点,故 . 在 中, , 为 的中点,所以 . 设 ,则 , , 因为 , 所以 .(也可通过 来证明 ), 又因为 , 平面 , 平面 , 所以 平面 ; (2)因为 , , , 所以 平面 ,又 平面 ,所以 . 由(1)得 平面 ,又 平面 ,故有 ,又由 , 所以 , , 所在的直线两两互相垂直. 故以 为坐标原点,以 , , 所在直线为 轴, 轴, 轴如图建系. 设 ,则 , , , . 所以 , , , 由(1)知 平面 , 故可以取与 平行的向量 作为平面 的法向量. 设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,所以 . 设平面 与平面 所成二面角为 ,而 则 ,所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .20、解答题已知椭圆的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为2, (1)试求椭圆 的方程; (2)若斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点,点 为椭圆 上一点,记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,