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1、甘肃高三数学月考测验无纸试卷1、选择题已知集合，集合 ，求 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解出集合 、 ，再利用集合交集运算律可求出集合 。 解不等式 ，即 ，解得 ， . 解不等式 ，解得 ， ， 因此， ，故选：B。2、选择题若、 、 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 对 ，利用分析法证明；对 ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对 ，考虑 的情况；对 ，利用同向不等式的可乘性. 对 ， ，因为 大小无法确定，故 不一定成立； 对 ，当 时，才能成立，故 也不一
2、定成立； 对 ，当 时不成立，故 也不一定成立； 对 ， ，故 一定成立. 故选：D.3、选择题下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10 B. “x=1“是“x23x+2=0“的充分不必要条件 C. “ac2bc2“是“ab“的必要不充分条件 D. 命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20” 【答案】 C 【解析】 对于命题p:xR,x2+x+10,则p: x0R，x02+x0+10，是真命题； “x=1”是“x23x+2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c=0时，不成立，是假命题； 命题“若x
3、23x+2=0,则x=1”的逆否命题为：“若x1,则x23x+20”，是真命题； 故选：C.4、选择题已知等差数列的前n项和为 ，则 A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 【答案】 D 【解析】 利用等差数列的前n项和公式 ，及等差数列的性质 ，即可求出结果. 等差数列 的前n项和为 ， . 故选D.5、选择题已知双曲线的离心率为 ,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据双曲线离心率可求得 ，代入椭圆方程中，根据椭圆 可构造出离心率，化简得到结果. 由双曲线离心率得： ，解得： 椭圆方程为 椭圆离心率 故选：6、选择题函数的大致图象是（ ）
4、 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用奇偶性定义可知 为偶函数，排除 ；由 排除 ，从而得到结果. 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 又 ，排除 故选：7、选择题将函数图象向左平移 个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 将函数 图象向左平移 个单位长度，可得 , 即 ,令 ,解得 , 则平移后图像的对称轴方程为 , 故选A.8、选择题在中， 边上的中线 的长为 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答
5、案】 D9、选择题某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥。底面三角形两直角边分别为3、4，棱锥高为6.则棱锥体积为 。故A正确。10、选择题已知,点 是圆 上任意一点，则 面积的最大值为 （ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】 C 【解析】 由三角形面积公式可得，只需求出 到直线 的距离最大值即可得结果. 由两点间距离公式可得 , 由两点式可得直线 方程为 , 圆心 到直线 的距离 , 圆的半径 , 所以点 到直线 距离的最大值为 ， 面积的最大
6、值为 ，故选C.11、选择题函数，函数 ，（其中 为自然对数的底数， ）若函数 有两个零点，则实数 取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果. 由 得 ， 令 ，则 , 所以当 时， , 当 时， , 因此当 时，函数 有两个零点，选C.12、选择题已知双曲线，过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为 A. B. C.2 D. 【答案】 B 【解析】 求得直线 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得 两点坐标的关系，根据 列方程，化简后求得离
7、心率. 设 ，依题意直线 的方程为 ，代入双曲线方程并化简得 ，故 ，设焦点坐标为 ，由于以 为直径的圆经过点 ，故 ，即 ，即 ，即 ，两边除以 得 ，解得 .故 ，故选B.13、填空题已知， 满足约束条件 ，则 的最小值是_ 【答案】 【解析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，即可得到结论 解：作出 ， 满足约束条件 的对应的平面区域如图： 由 得 ， 平移直线 ， 由图象可知当直线 经过点 时，直线的纵截距最小， 此时 最小，由 解得 ， 此时 ， 故答案为： 14、填空题动点椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .则点 的轨迹方程_. 【答案】 【解析】 设 ，
8、 ， ，根据题意列出等式，然后根据 在椭圆 上，代入即得。 解：令 ， ， 则 ， 即 代入 可得 即 故答案为：15、填空题已知函数， ， ，则数列 的通项公式为_ 【答案】 【解析】 先证明函数 为奇函数，故 的图像关于 对称，故 ，由此将 的表达式两两组合求它们的和，然后求得 的表达式. 由于 ，所以函数 为奇函数，故 的图像关于 对称，由此得到 ，所以 .16、解答题已知函数， （1）求函数 的单调增区间； （2）求方程 在(0， 内的所有解 【答案】 （1） , ；（2） 或 【解析】 先将 进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到 , ，解得x的范围即可.
9、 （2）令 ，解得x的值，对k进行赋值，使得x落在 内，即得结果. （1）由 , ，解得： , . 函数 的单调增区间为 , （2）由 得 ，解得： ，即 , ， 或 17、解答题已知数列是等差数列，前 项和为 ，且 ， （1）求 （2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)由数列 是等差数列，所以 ，解得 ，又由 ，解得 ， 即可求得数列的通项公式； (2)由（1）得 ，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和 (1)由题意，数列 是等差数列，所以 ，又 ， ， 由 ，得 ，所以 ，解得 ， 所以数列的通项公式为 (2)由（1）得 ， ， ， 两式相减得 ，
10、， 即 18、解答题在中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 . （）求角 的大小； （）若 ， ，求 的面积. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （）由正弦定理得到 ，再由三角形的内角间的关系得到 ，解得 ，进而得到结果；（）结合余弦定理得到 ，代入参数值得到 ，根据三角形面积公式得到结果即可. （）根据正弦定理， ， 整理得 ， 即 ， 而 ，所以 ，解得 ， 又 ，故 ； （）根据余弦定理， ， 又 ， ， ， 故 ，解得 ， 所以 .19、解答题如图，在四棱锥中，底面 为菱形， ， ， ， ，点 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
11、 【答案】 (1)证明见解析；(2) 【解析】 （1）求出 和 的数量关系，根据勾股定理可证 ，又 是正三角形，所以 ，根据直线与平面垂直的判定定理，可证 平面 ； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量所成的余弦值，从而可以求出平面 与平面 所成二面角的正弦值. （1）证明：连结 ， ，因为底面 为菱形， ， 故 ，又 为 的中点，故 . 在 中， ， 为 的中点，所以 . 设 ，则 ， ， 因为 ， 所以 .（也可通过 来证明 ）， 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）因为 ， ， ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 . 由（1）得 平面 ，又 平面 ，故有 ，又由 ， 所以 ， ， 所在的直线两两互相垂直. 故以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴如图建系. 设 ，则 ， ， ， . 所以 ， ， ， 由（1）知 平面 ， 故可以取与 平行的向量 作为平面 的法向量. 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，所以 . 设平面 与平面 所成二面角为 ，而 则 ，所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .20、解答题已知椭圆的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为2， （1）试求椭圆 的方程； （2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为椭圆 上一点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
