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1、1990年数学（一）真题解析一、填空题（1） 【答案】x 3y z + 4 = 0.【解】 显然所求平面的法向量为n = -1,3,1,所求平面为一（乂 l） + 3（y 2） + （z + l） = 0,即 X 3y z + 4 = 0.（2） 【答案】e2a.【解】lim=lim(1-x-*o |_ 工2ar ax a（3）【答案】1.1, | 产（工）IW 1,0, | | 1. 因为丨八工）$ 1,所以兀/（工）=i.【解】兀2）=【解】改变积分次序得pdjr p e- dy =2 _ 2 e 0dy djJ o=fJ (、2 _ 2 ye 0120（5）【答案】2.【解】A = （a
2、f,a；,a；,cd）=因为r（A） = 2,所以该向量组的秩为2.二、选择题【答案】(A).【解】FQ) =/(亍)()一/(工)(2) 【答案】(A).【解】 由fCjc) =/(x)2得f (x ) = 2f(.x )/，(x ) = 2_f (x )3 , f(.x ) = 2 X 3/(x )2/ (x ) = 3 !由归纳法得 广(工)=n /(x)n+1，应选(A).(3) 【答案】(C).=-eV(e_J) -/(j:),应选(A).【解】因为sin na2 noo oow 且2 收敛，所以X n = 1 n=1叫巴绝对收敛 n因为工发散，所以 （巴n = 1 V Z7 n =
3、 1in na 14nn2发散，应选（C）.（4）【答案】（D）.【解】因为lim , -X0 1 COS X=2,所以由极限保号性，存在S0,当0 |工|0.COS JC因为1 cosz 0,所以于Q） 0 = /（0）,故z = 0为极小值点，应选（D）.1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 5 页（5）【答案】【答案】（B）.【解】 【解】 令 Qai + k2a x a2） = 0,即（紅 + 怡2巾1 k2a2 = 0,因为a j .a2线性无关，所以kx + k2 = 0, k2 = 0,或& i = 0,k2 = 0,即a ,a t a2线性无关，又因为5.5
4、a2为齐次线性方程组AX = 0的解，所以a, .a, -a2为齐次线性方程组AX = 0的基础 解系；0 +0? 01 +0?而 工为非齐次线性方程组AX = b的解，故kax+ka -2）+ o 为AX = b的通解，应选（B）.（1） 【解】【解】罗+ ：九=ln（l + z）d（亠-）Jo （2 工）2 Jo 2 X /=ln（l+z） I1 f _1_2 z | o Jo （工一2）Q + 1）= ln2 + Tln|til|o = ln2_Tln2 = Tln 2-（2） 【解】【解】= 2/i + /cos x f；、oxd2 z亍p = 2（ ft + sin x ） + co
5、s z ff2 + cos x （ + sin x 危）djc dy=一 2/n + （2sin x j/cos jc ） f2 + cos jc ff2 y sin x cos x f；2 （3） 【解】 【解】 特征方程为A2 + 4A + 4 = 0,特征根为A !=入2 = 2.yf + yf + = 0 的通解为，=（C】 + C2 J： ）e2j ;令 yr，+ 4j/ + 4y = e2x 的特解为 y0） = ax2 e2x，代入得 a =故j/+ 4j/+ 4y = e力的通解为y = （G +C2Z）e% +y2e-2x（C1,C2 为任意常数）.四、【解】 【解】 由恤|
6、也| = 1得幕级数的收敛半径R = l,oo | an |当工=1 时，（2z? + l） （土 1） f（x f）,即 jc = + 1 时，幕级数发散，故幕级数的收敛域为（一1,1）令 SQ）=刀（2” + 1）才，n = 0则 S （工）=2x 丫 nx T + 工 jcn =2x（刀工）+ - n = 1 n = 0 n = 1 =2乂（宀），+亠=丄片1无丿 1 T （1 H）五、【解】【解】方法一令 50 ：z = 0（工 2 +j/ W 4）,取下侧，I =yzdzAjc + 2dr dy JJ yzdzdx + 2dx dy , *0 工0yzdzAx + 2djc dj =
7、 jjj*zd?7 =J 2 dJ r, -3sin 爭cos （pdr而工+工0007 .sin 卩 cos2r3 dr = 4兀o=2tc1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 5 页JJwdNchz + 2djr dy =2吐 dy = 2 故 / = 12tt.jj dz d;y = 8k ,2+/ g,由拉格朗日中值定理，存在w e(q,c)u a,b) ),使得/， = “)-空 0.c a七、【解】 由 A(E -CTB)TCT = E 得 ACC(E -C_1B)t = E,即 A(C B)T = E,解得A =(C B)tt ,1()21而c B=00001
8、000121000III3210043210，得100O210032109、432L01000、0-210001210101-2100013423)T(C-B=120b00o0010001001000100L000 1 0 0-2 1 0A =1 -2 10 1 2八、【解】，则 f = XtAX,A 1由 I AE - A | = 22-2A -44=入2(入一9) = 0,得入 1 =入2 = 0,入 3 = 9,-24A -41990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 5 页1200000/1_2由 0E-Ao得入1 = A 2 = 0对应的线性无关的特征向量为丄2令趴由9
9、E000得入3 = 9对应的特征向量为3 = I 2 I 2 （力， ，0】）X = QY2_2_T则 f = xtax9易，所求的正交变换为X = QY,九、【解】 设点P的坐标为（乂，$） ,OP = x ,y, | F | = y/x2 y2因为F的方向垂直于OP且与y轴正向的夹角小于今,所”+ “F。W = J ( + 无 dy =y，乂而yL+BA(y ) dz + 工 dp +L+BA(+ xdy = 2山 dy = 2 X *兀(血)=2兀,D_ ( y ) dr + 工 dy 9 AB夕，无,AB：y =工+1(起点工=1,终点工=3),则J (-jOdz + jr dj/ =
10、(x + 1) dj? + x dx = 2 ,故 w = 2（tt- 1）.十、填空题工V 0,（1）【答案】1 - Ter $ 0.【解】FQ) = PX 0=1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 5 页1 fx 1当hVO 时,F(jr ) = ex dx = ex ;L J oo Lfo & 112 1当工$0 时，F(z)= /(jc )dj： + /(z)dz= +牙 e x dx = 1-eJ -8 ) 0 2 2 J 0 2故 F(z ) = 51-e_T , z M 0.(2) 【答案】0.3.【解】 【解】 由 P(A) = 0. 4,P(B) = 0.
11、 3,P(A + B) = 0. 6 得P(AB) = P(A) + P(B) P(A +B) = 0. 1,故 P(AB) = P(A) P(AB) = 0.4-0. 1 = 0.3.(3) 【答案】4.【解】 【解】 因为X服从参数为2的泊松分布，所以E(X) = 2,于是 E(Z) = 3E(X) 2 = 6 2 = 4.十一、【解】 【解】 区域D的面积S = 1,则(X,Y)的联合概率密度为(1, Q ,y ) D , f(x,y)=【0, Q ) D.f+/x(H)=匚/(H，y)dy ,当zWO或工$1时Jx (无)=0;当 0 V 工 V 1 时,f x(工)=ldy = 2jc ,(2工，0 V 无 V 1, 则随机变量X的边缘概率密度为fx(z)= 卄小Io, 其他.由 E(X) = xf x (j: )dj： = | 2r2 Ax = ,2故 D(Z) = D(2X + 1) = 4D(X)=百.J o J o 3fi fi 1 14 1E(X2 ) = t2 f x )djr = 2x3 Ajc =百，得 D(X)= - -=,J o Jo Z Z 9 lo1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页
