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1、2003年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】e7【解】 【解】 limCcos x )1*1+工)=ljm 1 + (cos jc 1)（2） 【答案】2工+4夕一之一5=0【解】【解】令 F （j: 9夕，之）=X1 + y1 z ,设切点坐标为（工0,勺）,则切平面的法向量为n = F； ,Fy ,F； |（工。,*0）= 2工0,2夕0, 1, 因为切平面与平面2広+ 4夕一z = 0平行，9 T 9 v 一 1所以3上=y2 =，解得工0=1，夕0=2,从而 zo=j+y：=5,L 4 1所求的平面为 2（工1） + 4（j/ 2） （z 5） = 0,即 2x +4yz 5=
2、0.（3） 【答案】1.【解】【解】5 =f x2 cos 2jc djc = | x2 d（sin 2工）d(cos 2jc ) = cos 2工兀/ 2 3 【答案】（_ _/【解】 【解】 令 A = （aj ,a2）, B =（卩i ,02） ）./ 2 3设从基ai,a2到基趴仇的过渡矩阵为Q,则B =A Q,于是Q=AiB = （一 1 （5）【答案】4【解】【解】P X -Y 1 /(? )djr dj =（6）【答案】(39. 51,40. 49).【解】【解】av 一 . 一0. 05 ,“o.o25 = 1. 96，统计量 -=4(X )N(0,l),(39. 51,40.
3、 49).由P 1. 96 4（X ） 1. 96 =0. 95得的置信度为0. 95的置信区间为 （I乎，工+丁） = （39.51,40.49）.7162003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 11 页方法点评：对正态总体XN（y2）的参数进行区间估计分两种情况: 情形一：八已知取 U =N(0,1),由 ua V 1一a ,得参数的置信度为1a o , (T 的置信区间为(X-u , X + zu 情形二未知取 丁 =-/ （ 1）,由 P t a （t? 1） V- t a （ 1） = 1 a，得参数卩S 7 5 74n I 4n -的置信度为1a的置信区间为（X t
4、仝（一1）,X + s （n 1） V Jn 2 Jn 2 /二、选择题（7）【答案】（C）.【解】 【解】 设尸（工）与丁轴交点的横坐标从左到右分别为a,h,c,显然/（工）有三个驻点工=a, x =b ,工=c及一个不可导点2 =0.当x 0,当工6（a,b）时,/（工）V0,则鼻=a为心）的极大值点； 当g W （6,0）时,十（工） 0,则工=b为心）的极小值点；当工G （0,c）时，/（z ） V 0,则鼻=0为/（jc ）的极大值点； 当工 C时,/Z（J7 ） 0,则工=C为/（J7 ）的极小值点， 故/（工）有两个极大值点和两个极小值点，应选（C）.方法点评：求函数的极值时按如
5、下步骤进行：（1） 找出fd）的驻点及不可导的点；（2） 判断每个点是否为极值点（按照具体情况选用第一充分条件和第二充分条件）.由 lime” = oo 得lim | b”c” | = + ,故limb”c” = 00 ,应选(D).（8）【答案】（D）.【解】方法一3取 a” = ,b =n= l,c” =,显然（A）, （B）, （C）不成立，应选（D）方法二 取 =因为limb” =Ci1,所以存在N 0,当 N时，bn l|v，从而有bn *当 N时，I久C ”丨 丨C ” I （9）【答案】（A）.【解】 【解】 由1此马王2呼：了 =1及 23 的连续性，得/（0,0）=0. lo
6、 （2 十 y ）yf 02003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 11 页再由 lim 弓打 2阳=1，得 _/(久，夕)xy =(J；2 + y2Y +。(工2 + j2 )2JfO (乂 + V )yf 0或 fCx ,y) =xy + (a- 2 + j2 )2 + o (jr2 + j/2 )2 .当 y =x 时,/(J7,jr)=jf2 + 4工 4 + o (jc 4) x2 + o (a- 2 ) 0 ;当 y = 一 x 时，/(jr , 一 x ) = 一 x2 + 4j? 4 + o (x4 ) = x 2 + o ( j? 2 ) VO,则(0,0)不
7、是函数 的极值点，应选(A).(10) 答案】(D).【解】 【解】 方法一 因为向量组I可由向量组II线性表示，所以r(I) s时，因为r ( I ) 5 r ,即向量组I的秩小于向量组I所含的向量个数，所以 向量组I线性相关，应选(D).方法二 取I：ai=(；),U：0i=C),02 = (；)，显然向量组I可由向量组n线性表 示且r s, 但向量组n线性无关，(e)不对，应选(D).(11) 【答案】(B).【解】 【解】 方法一 若AX=0的解为BX=0的解，则AX=0的基础解系所含的线性无关 的解向量的个数不超过BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量个数，即n-r(A) r(B)
8、； ；(4) 若AX =0的解为BX =0的解，且r(A) =r(B),则AX =0与BX =0同解.2003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 11 页（12） 【答案】（C）.【解】 【解】 因为X/（“），所以存在UN（O,1）,V杉（“）且独立, 使得急庁是骼注意到bx2（i）且与v独立，故yF5,i）,应选（C）.三、解答题（13） 【解】【解】（I ）方法一 设切点坐标为（a,In a）,由导数的几何意义得山二=丄，解得aa ae,即切点坐标为（e,l）,故切线为e方法二 设切点坐标为（a,Ina）,所求的切线为 _ JQy n a =（工一q）9或夕=- In a
9、1,a a因为切线经过原点，所以In a 1 =0,即a =e，故所求的切线为j,=- e所以AIn x dx = -1.1 2j X eX 1 -（H）切线y =壬，工=e及工轴围成的三角形区域绕鼻=e旋转而成的圆锥体的体积为 e7re2Vi =y X Tte2 X 1 3 ,曲线y = n x ,x =e及jc轴围成的区域绕z = e旋转而成的体积为V2. 取工,x + dj? U 口，e , dV2 = 2兀（e x ） X In jc Xdz,V2 =2兀 j（ x esln dy 一 ye）工 e_sin，djy 一I .sin 十e+ e心）de ,D）d esindj/ yesm
10、Tdx =（n）ck +（e +已心）站 D/ sin v I sin y sin i i sin x、_ (e 十 e + e 十 e )da（16）【解】【解】（2 + 2）d（x = 2rr2.D（I ）设次击打桩打进地下深度为工汽锤第71次击打所做的功为W”，则 b 2乂1kjc djr =0kx dj?=0于则tD12=7t),W22 kx Ax = f (云! 2/ ),) 9W3由W2由W3o Akx djr = (j? 32 2=rW x 得云 一 a2 =ra2 解得云=(1 + r )a2=rW2 =r2Wx ,得云 一 (1 + r)a2 = r2a2 或工=(1 + r
11、 + r2 ) 0(t 0),o(0)=0, 得 (/) 0(/ 0),于是 FU) 0(/ 0),故 F&)在(0,+oo)( (P (t) Q(t 0),内单调增加. r/(r2 )drJ o由7t(n)g&)=/(r2 )drJ o当 t 0 时,F() G() 0 等价于f(rz)drl r2f(r2)dr7C J 0 JoJ /(r2 )dr| r2/(r2 )dr r/(r2 )drjht) =/()/(厂2)(/ _ 厂)2卄，当 0 时 /(/) 0,J 0h (0) = 0 ,hit) 0(1 0),令 h(t)=由(19)【解】【解】7C02,h (0) = 0 ,0 20
12、.0方法一得 hdt) 0(/ 0),于是 F(z) G(z).7T|A| =3222322237,111由/322102320122300I1得A|AlA-1001001丄7_272 7丄75_72 7丄7_277100A0100015_72 77_2_7_57_2_727277J:、0100得厂011Q10100100，5-2-2 ?)-25-2p-2-250101卩000110100卜0101000100010011010-1012003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 11 页于是 B=P A * P = 1B + 2E =，9_ 2-207-2-25-2-2-2501
13、0100011，7 0-2 5-2 -2043由丨入E (B +2E) | =A0-72A04-5(A -3)(A - 9)2 =0,=入 3 = 9.A - 922得十2E的特征值为A 1 = 3 ,入2当人1 = 3时，解方程组3E - (B +2E)X =0,r6由 3E - (B +2E) = 2 20420 Z1 0401 -2/ 0 0冷得5寺征值0 的特征向量为g t当入2 =入3 =9时，解方程组9E - (B + 2E)X =0,/0I112由 9E-(B+2E)= 224 -A 000 ,得B+2E的属于特征值入2 =入3 =9的线J2o0性无关的特征向量为2故U + 2E
14、的特征值为；li = 3,入2 =入3 = 9,属于入i = 3的全部特征向量为 为任意非零常数)；属于入2 =入3= 9的全部特征向量为怡22+怡33毎2&3为不全为 零的任意常数).A 3 2 2方法二 由丨 AE-A |= -2 A -3 -2 = (A - 1)2(A -7) = 0 得矩阵 A 的特2 2 A 3征值为入1 = A 2 =】9入3 = 7：入 3 =7 代入 QE-A)X =0,入 1 =& =1 代入 QE A)X = 0,/I1 1、由 E A - 00 0 |得A的属于A 1 = A 2=1的线性无关的特征向量为o0 J/_1/ a i = 1 | ,a 2 =
15、0 0 1丿2003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 11 页I1 0 -1 ,卓、由7E A I 0 1 一1|得A的属于入3 =7的特征向量为o 0 0 |A | = 7,A*的特征值为单1=7, J=7,陶 =1,入1 人2 人3因为B A * ,所以B的特征值为入1 =心=7,入3 =1，从而B +2E的特征值为9,9,3.B +2E的相应于特征值9,9,3对应的线性无关的特征向量为方法点评：本题考查矩阵的特征值与特征向量.矩阵与其关联的矩阵特征值与特征向量之间有一定的关系，主要有如下结论:(1)设 Aa =入()。，则 f(A)a f(X0)a ,匚-】_ 1A a
16、= -( (X 9 人0特别地，若A可逆，则Q , 即A与AT,A 特征向量相同.(2)设Aa =Aoa且P AP=B,则B P a =A0P-1a ,即A与B特征值相同，B的属于特 征值;I。的特征向量为P a.(20)【证明】方法一必要性：设三条直线交于一点(工。，)，即方程组AX=O有非零解(Ho，%,l)T,其中(a 26 3c b 2c 3a 9 则 | A | = 0 , c 2a 3b=一3(a +6 +c)(a bY + (6 c)2 + (c a)2 且(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 丰 09 故 Q-pb+c = 0充分性：设a+b+c=O,将方程组前两个方程相加得方程组的同解方程组为a2b3 c123123而A | =b2c3a=(Q +b +c)b2c3a=(a + 6 + c )02c-2b3a3bc2a3bc2a3b02a一 2c3b3c= 6(a + b +C)(a? + 快 + C2 _ab ac be)ax + 2by = 一 3c 9 bx + 2cy = 一 3a 2003年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 11 页
