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1、1999年数学（一）真题解析一、 填空题一、 填空题(1) 【答案】 【答案】 y.5、 - / 1 1 tanjc工 tan x J：LMJ hmI T-I = lim - = lim- -ro jc x tan jc / 工o jc tan jc xo jcsec2 j; 1 1= lim-；-=可3工 $ 3(2) 【答案】【答案】sin j;2.r i jq t = ii r o r x【解】 【解】 由 sin(jc t)2 dt . . sin u2 ( du) = sin u2 du 得J 0 v x J 0-J sin(j; t)2 dt = -I sin u2 du = si
2、n dz J o dj; J o(3) 【答案】【答案】Cie2j +C2e2 ,C2为任意常数).【解】 【解】 特征方程为入2_4 = 0,特征根为A1 = -2,A2 = 2,则 y，r 4j/ = 0 的通解为歹=C1 e_2x + C2e2j-；令夕一4y = e2x的特解为y0 (j ) = axe2x，代入得Q = ，故y - iy = e的通解为y = C& +C2$ ,C2为任意常数).(4) 【答案】【答案】入1 =入2 =入“-1 = 0,入” =XA 1 1 一11 A 1 一1【解】【解】方法一由丨AE A | = . . . = An_1 (A n) = 0得-1
3、- 1 A - 1A的特征值为入i =心=入”-1 = 0,入”=心方法二 因为AT = A，所以A可对角化，从而A的非零特征值的个数与r(A)相同，由厂(A) = 1得A只有一个非零特征值，又因为trA = n = + A2 + + A ,所以A的特征值为入】=A2 =入”_1 = 0,入“=兀(5) 【答案】 【答案】4【解】【解】令P(A) = p,而 P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) -P(AC)-P(BC) + P(ABC)=3p 3p2 ,q 1 3贝!j 3p 3p2 =花，解得P =或= ，1 o 4 4由 P(A) 时，广(A)
4、 W ,?-(B) W ,因为 r(AB ) W min r(A) ,r(B),所以 r(AB ) W ” ,于是r(AB) ex sin y bx + 夕)dz + (e cos y ax)dy = L+OA-(b a)a2 j(y + 2)a26-五、【解】 【解】 方法一 曲线y = )上任一点Px ,y)处的切线为Y y = j/(Xz),故 J = (6 (2 )(2 2 + 2(2 2 6 =五题图兀31999年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 5 页令Y = 0得X = x 亍,切线与x轴的交点为Q(z 一于)，垂足为TQ卫), 则 S1 = Z ， s2 = y(
5、t)dt,Z y Ly Jo由 2Si S2 = 1 得与一y(t)dt = I9y J。两边对工求导并整理得=“J令J = P，则yf = P学，代入得ypdp _ 2因为P HO,所以学-P = 0,解得p = Cie y y = Cxy,由歹(0)= l,“(0) = 1 得 Ci = 1,即字一夕=0,解得 y = C2e = C2ex 9 再由 y(0) = 1 得 C2 = 1,故夕=e 方法二 曲线=(工)上任一点PQq)处的切线为Y 夕=“(X工)，令丫 = 0得X =工一亍,切线与工轴的交点为 0,x x2 _ 22 _ 1）X当o v 乂 1时fs 1时fO o,则工=1为
6、yQ)的最小值点, 由严(1) = 2 0 得 /&) $ 2 0,(/(I) = 0, 由 得V) 0Q 0)于是当工 0 时 fix) A /(l) = 0,故当 z 0 时(z? l)ln x N(_r l)2.七、【解】 设将空斗从井底拉至井口拉力做功为则 0,0 0,=2,b = 3,c = 2 ,A o = 11999年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 5 页再由A为正定矩阵得BX H 0,即BX = 0只有零解，故r(B) = n.(充分性)设 r(B)=，对任意的 X # 0,XtBtABX = (BX)TA(BX),令BX = Y，显然YHO.若 Y = 0,即
7、 BX = 0,由 r(B) = n 得 X = 0,矛盾.因为YH 0且A为正定矩阵，所以XtBtABX = yTAV 0,即BtAB为正定矩阵. 十二、【解】【解】由Pn + y = y得因为X,Y相互独立，所以如.X 4-= 二解得Pi=v-b Z4 4.1,1, 1 1由2l + 8+pu = N得兀=1 1 za 1由P-2 X = 得2 =迈，.1 . 1丿曰 3由g + ”22 =迈得少22 = ，由+ + * +力3 = 1得”3 = 丁，.1 , 1丿曰 1由正 + ”23 = 23 = N，1 3再由-=1得=4 4re a ro Q十三、【解】【解】(l)E(X) = x (0 jc)dx = COx2 x3 )dj： = J 0 06 0s J 0 2由E(X) = 乂得0的矩估计量为0 = 2 乂.(2) E(X2)= 工2 琴(&一工)吐= (处3 _,)dH =,Jo 9 0 Jo 10on 2 n 2 n2D(X) = E(X2)-E(X)y = -T-,- 4 92故 D(0) = D(2X) = D(X)=.n 5n1999年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页
