高中数学 《空间直线》知识精讲 旧人教版

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1、高二数学高二数学空间直线空间直线人教版人教版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 空间直线 1. 空间两条直线的位置关系 位置关系 图 示 表示方法 公共点个数 两 两直线 直 相 交 abA 一个 线 共 两直线 ab 没有 面 平行 两直线不在同 a、b 是异面 没有 一平面内 直线 2. 平行公理： 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 一个角的两边和另一个角的两边分别平行同时方向一样，那麽这两个角相等。 推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。 3. 异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面

2、直线。 （2）画法： （3）异面直线断定： 用定义：（多用反证法） 断定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不通过该点的直线是异面直线。 4. 异面直线所成的角： 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。 求两条异面直线所成的角的一般步骤是： （1）构造：用平移法作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角确实是要求的角； （3）计算：利用三角形求角； （4）结论 假设两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。 异面垂直AabbaAb 空间两直线垂直 相交垂直 4. 异面直线的公垂线及间隔： （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的

3、公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的间隔 ：公垂线段的长 假设一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的间隔就等于异面直线间的间隔。 假设两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的间隔等于两异面直线间的间隔。 【典型例题典型例题】 例 1. 在空间四边形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是四边上的点，且满足 （1）求证：M、N、P、Q 共面 （2）当对角线 ACa，BDb，且 MNPQ 是正方形时，求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用 a、b 表示) 在同一平面内 MNAC 又 NPBD MN 与 NP 所成的角等于

4、AC 与 BD 所成的角 MNPQ 是正方形MNP90 AC 与 BD 所成的角为 90 【说明】在空间证明两直线平行的根本根据确实是公理 4平行直线具有传递性。 在平面几何中有关平行的定理只能处理在一个平面内的直线平行咨询题，在两个平面内的两条直线平行的断定中仍借助于公理 4，这是证明空间两直线平行的根本出发点。 求 K 的值就要建立 K 的方程，解方程的思想仍是求值的重要数学思想。 例 2. 已经知道 a，b 是异面直线，求证：过 b 上的点所做的与 a 平行的直线都在同一平面内证明：证明：如图在 b 上任取一点 P，作与 a 平行的直线 c b，c 确定一个平面 假设存在与直线 a 平行

5、的直线 l，满足 L 与 b 交于 Q 但 l l Q b、l 确定一个平面，记作 b，且 lc l，这与 L Q 矛盾 L ，即过 b 上的点所作的与 a 平行的直线都在同一平面内 留意：要掌握反证法的逻辑思维方法和表达方法。 例 3. 正方体 AC1中 （1）和棱 AA1异面棱是哪些？和 AA1异面的面对角线有哪些？ （2）面对角线 B1C 成异面垂直的棱有哪些？面对角线？ （3）求 BD 和 B1C 所成的角 （4）求 BD1和 B1C 所成的角 （5）BD1不和哪些面对角线垂直？ （6）BD1与 C C1之间的间隔。 解：解：（1）和棱 AA1异面的棱是 BC，CD，B1 C1，C1

6、D1 面对角线 BD，B C1，B1C，C D1，D C1，B1 D1 （2）棱：C1D1，AB 面对角线：A D1 （3）D1B1C 为所求角 B1D1B1CC1Da BD 与 B1C 所成角为 60 （4）找 D1 C1平面 B1 C D1B 是面 B1 C 的斜线 B1 C 是 B D1在平面 B1 C 上的射影 B1 C B C1 B D1 B1 C（三垂直定理） B D1和 B1 C 所成角是 90 割补法 （5）凡异面则都垂直（6 条）不垂直 6 条 BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1（6）解一：解一：连 A1C 交 BD1于 E 取 CC1 中点 F 连 EF，EF

7、为CA1C1的中位线。 EFA1C1 又CC1 面 A1C1 CC1 A1C1 EFCC1 又D1FBF E 是 BD1中点 EF 为异面直线 BD1与 CC1间的间隔 EFA1C1a 解二：解二：（转化为线面间隔）平面 BB1D1D 过直线 BD1 直线 C1C平面 BB1D1D CC1到面 BB1D1D 的间隔确实是异面直线 BD1与 CC1的间隔 连 AC 交 BD 于 O，OCBO，OCBB1 OC平面 BB1D1D OC 确实是 CC1与平面 BB1D1D 的间隔 两异面直线见间隔为 OCACa 例 4. 如图，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB 与 CD 的中点，假设A

8、CBD2，求异面直线 AC 与 BD 所成的角。 解：解：取 AD 的中点 G，连结 EG，FG，则 EGBD，GFAC， EGF120是异面直线 AC 与 BD 所成角的补角，异面直线 AC 与 BD 所成的角是60。 评析：评析：异面直线所成角为锐角或直角，因此其余弦值不能为负数，假设求出角的余弦值为负数说明它是异面直线所成角的补角此题假设答异面直线所成角是 120确实是错误的 例 5. 间四边形 ABCD，ABBCCDDAa 对角线 ACBDb，E、F、G、H 分别为四边中点。 求：（1）四边形 FEGH 的面积（2）BD 与 AC 的间隔 解：解：（1）E，H 分别为 AB，AD 中点

9、 EHBD 同理 FGBD EHFG 四边形 EFGH 为平行四边形， 取 BD 中点 O 连 AO，CO ABAD，BCCD AOBD，COBD BD平面 AOC BDAC 又 H，G 为 AD，CD 中点 HGAC EHHG BDACb EHHGb 四边形为正方形 SEFGHEH2 （2）在AOC 中作 OMAC 于 M ABADBCCD AOBCBO OCOA M 为 AC 中点 BD平面 AOC BDOM OM 为 AC 与 BD 的公垂线段即异面直线 BD 与 AC 的间隔 在 RtAOD 中 AO2AD2（BD）2a2b2 在 RtAMO 中 OM2OA2AM2 a2b2b2 OM

10、即 BD 与 AC 间的间隔为。 两条直线的位置关系是最简单、最根本的位置关系，由于空间任意两条直线不管重合或相交或平行的时候，这两条直线在同一平面上，因此除了空间平行直线的传递性以外，以上几种情况都可归结为平面上的直线关系，剩下的是空间不共面的两条直线，即异面直线的互相关系了，异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考察，考察内容涉及以下几个方面： l）异面直线的定义； 2）异面直线所成的角； 3）已给出异面直线的公垂线时，两异面直线间的间隔； 4）用反证法证明有关异面直线的咨询题 例 6. 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的

11、中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是_（92 年全国高考选择题） 解析：解析：如图将 AM 平移到 M1B1，CN 平移到 N1B1，则 M1、N1分别是 AB，CC1的中点。且M1B1N1是 AM 与 CN 所成的角。连 CM1，中， ， 。由余弦定理得 说明：说明：求异面直线所成角首先要做必要的平行线，原则上做一条平行线可处理咨询题，就不做两条。平行线的做法远不止一种，此题还可过 N 点引 B1M1的平行线，也可过 MM1做一个平面与侧面 BC1平行，在所在平面内过 M 做 B1N1的平行线。 例 7. 以下命题中正确的一个是（ ） （A）假设 a 与 b 是异面直线,b 与

12、c 也是异面直线，则 a 与 c 也是异面直线 （B）已经知道异面直线 a，b 两条直线 c，d 分别与 a，b 都相交于，则 c，d 也是异面直线 （C）四个角都是直角的四边形一定是矩形 （D）两条异面直线可能没有公垂线 分析：分析：假设 ABCD 是空间四边形， 则 ABCD 一定是异面直线 BCAB，BCABB，BCCD，BCCDC BC 为异面直线 AB，CD 公垂线 同理 AD 也是 AB，CD 公垂线矛盾。 （唯一性） 答案：答案：C 例 8. 关于异面直线 a，b 下述命题中不正确的一个是（ ） A. 过直线 a 有且只有一个平面平行于 b B. 过直线 a 有且只有一个平面垂直

13、于 b C. 存在分别通过直线 a 与 b 的两个互相平行的平面 D. 存在分别通过直线 a 与 b 的两个互相垂直的平面 分析：分析：当异面直线 a 与 b 不垂直时，由线面垂直定义可知过 a 的任何平面中都有直线 a与 b 不垂直，故直线 b 一定不过 a 的平面垂直。 在处理有关异面直线的咨询题时，要把立体几何的各部分知识内容联络起来考虑，才能较全面的认识异面直线的性质 答案：答案：B【模仿试题模仿试题】 1. 已经知道 a，b 为异面直线，为平面假设 a b，且c 则以下结论中一定正确的选项（ ） （A） ac 且 bc （B） ac 且 bc （C） ac或 bc （D） ac或 b

14、c 2. 在四面体 ABCD 中，ABBCCDDAACBDa，E、F 分别是 AB、CD 的中点。 （1）求证 EF 是 AB 和 CD 的公垂线 （2）求 AB 和 CD 间的间隔 3. 如图， P 是ABC 所在平面外一点， D、E 分别是 PAB、PBC 的重心，求证：且。 4. 已经知道：a、b 为异面直线，a 上两点 A、B，b 上两点 C、D，线段 AC、AD、BD、BC的中点分别为 E、F、G、H，求证： （1）直线 EG 与 a 和 b 均是异面直线；FH 与 a 和 b 均是异面直线。 （2）线段 EG 和 FH 相交且互相平分。 5. 在空间四边形 ABCD 中，对角线 A

15、CBD，假设 AC6，BD4，M、N 分别是 AB、CD的中点。 求（1）MN 的长；（2）求 MN 与 BD 所成角的正切值。 6. 空间四边形 ABCD 中，P、Q、R、S 分别是四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，已经知道，且四边形 PQRS 面积是，求异面直线 AC、BD 所成的角。【试题答案试题答案】 1. 分析：分析： 选 D 2. 解：解：（1）BCD 和ACD 为两个全等的等边三形，且 F 为 CD 的中点 BFCD，AFCD，且 BFAF CD平面 AFB 由 BFAF，且 E 为 AB 的中点，得 EFAB EF 是 AB 和 CD 的公垂线 3. 分析：分析：分线段成

16、比例二直线平行，找对应线段成比例 证明：法一：证明：法一：连 PD 交 AB 于 M，则 M 为 AB 中点，同理 N 为 BC 中点， 总结：总结：重心的性质 PDDM21 间接找出 DE 与 AC 的关系 分析：分析：由结论出发 DEAC，则 DE 和 AC 在同一平面，故有法 2 方法二：方法二：连结 AD 交 PB 于 G，D 为PAB 重心，G 为 PB 中点，又 E 为重心，直线CE 过 G 点， ，又，故 4. 证明：证明：如图 CAE，DBG。 与 a、b 为异面直线矛盾。 EG 与 a 异面，同理 EG 与 b 异面，同理 FH 与 a 和 b 是异面直线。 （2）在ACD 中，EF 为中位线， 四边形 EFGH 为平行四边形， 线段 EG、FH 相交且互相平分。 5. 解析：解析：如图取 AD 的中点 P，连结 PM、PN， 在 RtPMN 中，PM2，PN3， PMN 即为 MN 与 BD 所成的角， 6. 解析：解析：如图中，在ABC 中 P、Q 分别为 AB、BC 中点 AC、BD 所成的角不超过 90， AC、BD 所成的角是 45。