21_行程与工程

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1、 运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题 1。从电车总站每隔一定时间开出一辆电车甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙等分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车那么电车总站每隔多少一分钟开出一辆电车 【分析与解】 电车15秒(分钟)行驶了(82-60)10-60=205(米). 电车的速度为205=820(米分)于是，甲走10分钟的路电车需要1分钟，因此每隔10+l=11(分)电车总站开出一辆电车. 2。如图21-l，A

2、至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的当小王到达A后9分钟，小张到达D那么A至D全程长是多少千米? 【分析与解】 BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图： 另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G 小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，

3、这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多) 因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9=18(分钟) 因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟走B至C全程(平路)要30分钟 从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)； 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)； A至D全程长是(36+54)+30=11.5千米 3一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次

4、是1秒、3秒、5秒、，即是一个由连续奇数组成的数列问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒? 【分析与解】 它们每秒钟共同爬行5.5+3.5=9厘米第1秒在上半个圆周上，共同爬行了9厘米； 再过3秒在下半圆上，共同爬行了93-9=18厘米；再过3秒在上半圆上，共同爬行了95-18=27厘米； 列出下表，找出规律圆周长是1.26米=126厘米，半圆周长是63厘米，因此，它们共同爬行了1+3+5+7+9+11+13=49秒 4如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并

5、从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米? 【分析与解】 4=即蓝精灵跳4次到A点圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点 圆半径乘以4后，跳16次到A点 依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点1000次跳完后圆周长是1=128米 5一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米早晨8时，由第1站发出一列客车，向第1l站驶去，时速是100千米在到达终点站前，货车与客车都不

6、停靠任何一站问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇? 【分析与解】设在A、B两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇 考虑客车在到达各站时，与前方各列货车的距离由于货车的速度是客车的60，在客车从某一站A行驶到下一站B时(行驶7千米)，各列货车行驶了7千米60=4.2千米 因此，在客车到达A站前，客车前方11.2千米以内的各列货车，在客车到达B站前都能与客车相遇若在A站和B站间客车遇到3列货车，那么其中第三列与A站在距离至多为11.2千米而与其中第一列货车的距离为52=10千米，所以其中第一列货车与A站的距离不超过11.2-10=1.2千米 反过来，若客车在到达A站时前方1.2千米以

7、内有一列货车，则客车在到达B站前一定能遇到3列货车 于是把客车到达各站时与前方第一列货车的距离列表如下：(上表第二行规律为，从第二个数开始，每个数等于前面一个数加上一个5的倍数再减11.2) 其中有两个数小于1.2，相应的站分别为第5站和第9站但客车在到达第9站时前方只有1列货车了，所以只能在第5,6站之间与3列货车相遇 6已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程? 【分析与解】 方法一：由题

8、意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米 狗追上猫一圈需300(-1)= 单位时间， 兔追上猫一圈需300(-1)= 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即=8437.5 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑2

9、1步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为，它们的最大公约数为. 即设猫的速度为，那么狗的速度为 ，则兔的速度为 于是狗每跑300(625-225)= 单位时追上猫； 兔每跑300(441-225)= 单位时追上猫 而，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇 有猫跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为什么呢? 在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误 于是狗每跑300(625-225)

10、625=米追上猫； 兔每跑300(441-225)441=米追上猫； 而，7甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少?【分析与解】 甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B.在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了AD+DC由于在这一过程中,车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即(AC+2C

11、D):AC=48:4=12:1 因此，2CD:DB=15:l，CD:DB=15:2 由此，AC:DB=15:11 评注：首先确定谁先步行，再利用比与比例来求解 8一条环形道路，周长为2千米甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点那么环行2周最少要用多少分钟? 【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间；乙、丙情况类似，所以

12、先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3 因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是，甲步行的距离为2=0.8千米；则骑车的距离为22-0.8=3.2千米； 所以甲需要时间为()60=19.2分钟 环形两周的最短时间为19.2分钟 参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米； 乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行

13、车) ； 丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米 9一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天? 【分析与解】 因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由甲单独完成现设两人合作天，则甲单独做8-天，于是得到方程(80+90) +(8-)=l，解出=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天10甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40，二队

14、的工作效率要下降10结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析与解】 晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为(1-40%)=和(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的3+5=，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天. 11有甲、乙两项工作张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天? 【分析与解】 合理安排应是李先单独完成甲工作，同时，张单独先做8天乙工作然后，张、李合作完成乙工作的剩余量，共用 (1-8)(+)+8=+8=12(天). 因此,这两项工作都完成最少需要12天 12画展9时开门，但早有人来排队等候入场从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队那么第一个观众到达的时间是8时几分? 【分析与解】 由题意可得两个等式，如下： (开门前