《2021-2022学年高一数学同步讲练第10讲 平均值不等式及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高一数学同步讲练第10讲 平均值不等式及其应用（解析版）（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10讲 平均值不等式及其应用平均值不等式1定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当ab时成立其中叫做正数a、b的算术平均值，叫做正数a、b的几何平均值2定理（常用不等式）：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当ab时成立3.活用几个重要的不等式(1)a2b22ab(a、bR)；(2)(a、b同号)；(3)(a、bR)4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是(简记：积定和最小)；(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)总结
2、：应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错运用以上结论求最值要注意下列三个条件:一正:要求各数均为正数;二定:要求和或积为定值;三相等:要保证具备等号成立的条件.5.重要不等式链1）若ab0，则ab.2）设a0,b0,则有(当且仅当a=b时取等号).其中为调和平均值,为几何平均值,为算术平均值,为平方平均值.题型一、平均值不等式概念辨析【例1】下面四个推导过程正确的有 （1）若a、b为正实数，则；（2）若aR，a0，则；（3）若x，yR，xy0，则；（4）若a0，b0，则.【答案】（1）（3）【解析】（1）中，因为a，b为正实数，所以为正实数，符合基本不等式
3、的条件，故（1）正确；（2）中，因为aR，a0，不符合基本不等式的条件，所以是错误的（3）中，由xy0)中等号成立的条件是()A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2【答案】C【解析】由题意知a=1.故选C.2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C.D【答案】D【解析】a2b22ab(ab)20，A错误对于B、C，当a0，b0时，不符合基本不等式的条件，明显错误对于D，ab0，.故选D.3设a，b为正数，且ab4，则下列各式中正确的一个是()A. B.C.D【答案】B【解析】因为ab，所以，当且仅当ab2时等号成立4.下列不等式的推导过程正确的是_
4、若x1，则；若x1，所以x2；中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件题型二、利用平均值不等式比较大小【例2】(1)如果0abQM BMPQCQMP DMQP【答案】B【解析】a0，b0，当且仅当ab时，等号成立，又0a，又因为,也就是）所以.故MPQ.故选B.(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：；.其中恒成立的是_(填序号)【答案】【解析】由重要不等式a2b22ab，可知正确；，可知正确；当ab1时，不等式的左边为1，右边为，可知不正确；当a1，b1时，可知不正确方法总结：运用平均值不等式比较大小的注意点(1)要灵活运用平均值不等式，特别注意其变形(2)应注意成立的条件，即ab
5、2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.举一反三1.（2020上海高一课时练习）若，则中最大的一个是_【答案】x+y【解析】因为x2+y22xy;x+y;又因为，所以x2+y22;所以2ab,又因为0ab,且a+b=1，所以a”“0,b0,c0,求证:.【答案】证明过程见解析.【解析】证明:(1)因为x,y都是正数,所以x+y0,x2+y220,x3+y320.所以(x+y)(x2+y2)(x3+y3)2xy2x2y22x3y3=8x3y3,即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3,当且仅当x=y时,等号成立.(2)因
6、为a0,b0,c0,所以.同理,则.故,当且仅当,即a=b=c时等号成立.考点2、利用“1”的代换证明不等式【例4】 已知a0,b0,a+b=1,求证:.【答案】证明过程见解析.【解析】证明:法一因为a0,b0,a+b=1,所以.同理.故.所以,当且仅当a=b=时取等号.法二，因为a,b为正数,a+b=1,所以ab,于是.因此,当且仅当a=b=时等号成立.【例5】已知a，b，c均为正实数，且abc1.求证：.【答案】证明过程见解析.【解析】证明因为a，b，c均为正实数，abc1，所以，同理，.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得.当且仅当abc时，等号成立方法总结：利用平均值不等式证明不等式
7、的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用平均值不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用平均值不等式的证明可重新组合，形成平均值不等式模型，再使用举一反三1.设a,b,c都是正数,试证明不等式:.【答案】证明过程见解析.【解析】证明=6,当且仅当,即a=b=c时取等号.2.已知a，b，c均为正实数，且abc1.求证：.【答案】证明过程见解析.【解析】证明当且仅当abc时，等号成
8、立3.已知a0，b0，且ab，求证：ab2.【答案】证明过程见解析.【解析】证明:由a0，b0，则ab，由于ab0，则ab1，即ab22，当且仅当ab1时，等号成立，所以ab2.题型四、利用平均值不等式求最值问题考点1、直接应用不等式求最值【例6】求下列式子的最值:(1)y=3x2+; (2)y=x(6-2x)(0x3); (3)y=3x+(x0);【答案】（1）；（2）；（3）-12.【解析】(1)，当且仅当3x2=，即x=时取等号,所以y=3x2+有最小值.(2)因为0x0,3-x0,所以y=x(6-2x)=x(3-x)，当且仅当x=3-x即x=时取等号.所以y=x(6-2x)(0x3)有
9、最大值.(3)因为x0,所以-y=-3x+2,当且仅当-3x= -即x=-2时取等号.所以y-12,所以y=3x+(x0)有最大值-12.考点2、利用配凑法求最值【例7】(1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_；(2)已知x1)的最小值为_【答案】（1）；（2）1；（3）.【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号故所求x的值为.(2)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，取等号故f(x)4x2的最大值为1.(3)（分离常数法）y(x1)22.当且仅当x1，即x1时，取等号方法总结：拼凑法利用平均值不等式求最值的实质及
10、关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用平均值不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键考点3、利用常数代换求最值【例8】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_【答案】4.【解析】因为ab1，所以=224.当且仅当ab时，取等号拓展延伸1.（变条件）将条件“ab1”改为“a2b3”，则的最小值为_【答案】1.【解析】因为a2b3，所以.所以=.当且仅当ab时，取等号2.（变问题）保持本例条件不变，则的最小值为_【答案】9.【解析】当且仅当ab时，取等号方法总结：常数代换法求解最值的基本步骤(1)根据已知
11、条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用平均值不等式求解最值考点4、消元法求最值【例9】已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_【答案】6.【解析】法一(换元消元法)：由已知得x3y9xy，因为x0，y0，所以x3y，所以3xy，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，即(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.法二(代入消元法)：由x3yxy9，得x，所以x3y3(1y)6.当且仅当3(1y)，即y1时取等号即x3y的最小值为6.方法总结：消元法利用平均值不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用平均值不等式求最值考点5、利用两次基本不等式求最值【例10】已知ab0，那么a2的最小值为_【答案】4.【解析】由ab0，得ab0，b(ab).a2当且仅当bab且a2，即a，b时取等号a2的最小值为4.方法总结：多次利用平均值不等式求最值的
