2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 1 页，共 15 页2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 2 页，共 15 页2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 3 页，共 15 页2004年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】0.【 【解解】 】 当工=0时,于（0） =0；（0 9 工=0，当工 H0 时,f （工）=lim -=，即 f （j?）=丿 1nx2 + 1 工 丁工工 o.因为lim/X#）不存在，所以x =0为/（jc ）的间断点.H f 0方法点评：讨论由极限表示的函数的连续与间断时，先求出函数的具体表达式，再讨论 分段点处的连续性. t（SI n T sin 工一sin .-） ，求于（H ）的间断点.sm t /t_ sin t t【解解】心工）=1口（沁）（1 +沖二沁）E =e熬. n sm t） ） t-*x |_ sin t _当工E Z）时，/（工）间断.因为） = e,所以卫=0为/（j；）的可去间断点；兀一” 0因为/（兀一0） =4_00 /（7t4-0） = 0,所以X 7T为/（工）的第二类间断点， 同理工w Z且怡H 0）为/（工）的第二类间断点.（2）【答案】（dy _ Ay /At _ t2 一 1dx djr / dz 厂 + 1【 【解解】 】（八十IF3（ + 1）4/3（厂+V 0,得 t 0,所以工=八+3/ + 1在（一oo,0）上单调增加，于是t 0对应的x的范围为（一x,l）,故夕=夕（工）向上凸的工的取值范围为（-oo,l）.（3）【答案】 y.【 【解解】方法一sec Ztan t t -d sec tan t7T7dx1 X Jx2 1方法二（4）【答案】2.【 【解解】方法一7T7272004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 4 页，共 15 页解得2已2工3z1 + 3e“3 7 d 2 d z 2+ 2两边对y求偏导，得=3e2j 3 -2,解得亍= 2j_33y dy dy 1 + 3e 肚o dz , 3Z 2(l + 3e23z) o3-= 一 . 一 w =厶OX oy1 + 3e z = e2x_3z +2两边求全微分，得 dz = d(ei ) + 2dy =严(2dz 3血)+ 2旳, 2e_ , , 2 9 z-cljr 2 d v 91 + 3/f 1 + 3e2j;-3zq O 2x3z 是狂1十3，石_ 1 + 3J衣3(5)【答案】夕=? +丿尸.方法二整理得dzn 3Z , dz 2(1 十 3尹f) 故彳茹+矿 l + 3e一2.z =,于是2djc 2x尸怙+c【解】 由Cy + J?3)djr 2x =0,得更 =冷、解得e+=c7T + ,53由以1)=M得C = l,于是=亏+炕 (6)【答案】 j.【 【解解】| a | = 3,在 ABA * =2BA * +E 两边右乘A 得 3AB =6B +A 或 3(A -2E)B =A , 于是 33 |A -2E | |B |- |A |.1 0 0而 A - 2E = 1o0 00 1方法点评：本题考查矩阵与伴随矩阵的关系、未知矩阵的行列式.设A是阶矩阵，若题中出现伴随矩阵A *时，一般需要使用如下性质：(1) |A* |= |A (2) AA* =A*A.特别地，当A可逆时，A* = |A ，即A*与A-1两矩阵成比例(3)r (A * ) =v1,0,r (A ) = n 9r (A ) = n 1 ? r (A ) C n 1.n ,二、选择题(7)【答案】(B).cos0Xt2 dt-=lim cos z $ = 19 得 a 工jr-*O+【 【解解】方法一由lim = lim工_()+ x 工一()+.2tanTT ck + a ()+时9 lim cos t2 to+33当t ()+时，tanTT/ 9则0当 t f C)+ 时 9 sin 3几则71 2X ,4故无穷小的阶数由低到高的次序为a *卅，应选(B).方法点评：本题考查无穷小阶数的比较判断无穷小的阶数有如下几种常用方法: (1)等价无穷小如：a/1 + r2 一 1 乂2.(2)麦克劳林公式如：z sin x x1 3-T.6-0( (2 3 )(3)待定阶数法如叔=tan t . , v a-at, wlim= ttan x2工-x1呻 TTLX?rlim- ，得 m 1 = 1,文f o mx0即加=2 9且aw(8)【答案】(C).【解】 方法一 由/(#) =工W 0 90 Vh V 1,工$ 1 9292004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 6 页，共 15 页(2j: 一 1,工0, 2, _z0,得 fO =!1 一 2 j? , OVhVI, /(工)=丿一 2 , 0工l.当 _z 0 时，7(z)=2_zIVO；当 0V_z V* 时，/(工)=1 2工0,则z = 0为/（jr）的极小值点;又当工0；当 0 V g V 1 时,fx ) = 2 0.L 0 x由极限保号性，存在&0,当0 & |5时，八八?0.X于是当工 e（&,o）时/（o）,应选（C）.方法点评：本题考查极限保号性的应用.函数在一点导数大于（小于）零与函数在一个 区间内大于（小于）零是不同的，需要作如下补充说明：（1）函数在一点导数大于（小于）零的情形若/（a） 0,由导数的定义0,由极限的保号性，存在80,La X a当.0 V | x 一 a|0,于是有(/(x) V f(a),1/() f(a),x C (a 5 ,a),z G (a ,a +5),但yCr）在x a的去心邻域内不一定单调增加;若/(aXO,由导数的定义,f3= lim “nx-*a x a0,由极限的保号性，存在&0,2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 7 页，共 15 页当 0C| x ald时宀x ay(a), i/(jr) 0，当 乂工0时,/(工)= +2hcos +f o x xo z x z 2 x11sm，因为尸72nn + -|-寸 0I 匸= VO,所以/(工)在z = 0的去心2/?7r y /邻域内不保正号,f（x）在工=0的邻域内不单调.（2）若fx ）在工=a的去心邻域内保正号或负号，则心）在工=a的去心邻域内单 调增加或单调减少.（id r答案】（a）【 【解解】 】 微分方程yf + y = 0的特征方程为入2 + 1 = 0,特征根为入1,2 =i 夕+夕=1 +工2 + sin工可分解为微分方程的特解形式为力 微分方程的特解形式为g 则微分方程y + y = 1 + x2丄 1 I 2y十夕=1十工，丿 + 夕=sin x ,=ax $ + 处 + c 9=jc (A sin jc B cos x ), + siriH的特解形式为y = ax2 bx c x (A sin x B cos x )，应选（A）.（12）【答案】（D）.【 【解解】方法一令贝!J/（jcj/ ）djc dj/ = J dd D应选（D）. 方法二 D的X型区域为x = rcos 6 9(o W & W 兀，o W 厂 W 2 y = rsin 92sin 0rf Cr2 sin 0cos &)d 厂 9o1） = （工，3/） |1工1,1一 J 一工% W 夕 W 1 +一 工%1+ 5/1x_斥盲/（工夕）旳，（A）不对；1 dx则/(工夕)山d_y =DD 的 Y 型区域为 D = (x ,y) | a/2j/ y2 三 x W J2y y2 ,0 W y W 2,则 31 2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 8 页，共 15 页 C2fCjcydj： ： dj/ = Jdj/-/(arj; )djr，因为f( (l,r(B)l,于是r (A ) n ,r (B ) 卩”由AB =O得 11 a 1 + “21 a2 + + bnia n=0, +a202 -5”0”=(hb2a , +b 2 -+久2化=0, tz2ii +a22p2 H-+ a 2fi =0,v . 及 .bx.a ! + b2,a -+ ban =0 amlp + am2fi2 H-ampn =0.因为A.B为非零矩阵，所以存在不全为零的常数九，鬲，九及g,a,2,使得 bja +血a2 -b,an = 0 及 “0 +a,20? -a,P =0,即a】 .a?,，a”与为02,，卩”都线性相关，应选(A).方法点评：当研究矩阵的秩与向量相关性时，一般使用矩阵的秩、矩阵行向量组的秩、 矩阵列向量组的秩相等的性质.向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于向量组所含向量的个数；向量组线性 无关的充要条件是向量组的秩与向量组所含向量个数相等.三、解答题(15)解】方法一lim才一 01/2 + cos x Z7 L* 3 )=limx-* 0=lim工一*0ln(l +cos X31i 2+cos xx In-x-ecos X 一 12 + cos x win-=lim- -工*0 JC1 . 1 coslim3 x-* 0311 32 2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 9 页，共 15 页方法二 lim AHfO X2 + cos x3limX02 + cos x3Xlimr02 + cos x3 In2 + cos x x sin x3 2 + cos x3x2limrf 0 x sin x3(2 + cos x )2=limJ-*O1 2 + cos xIn-33x2.2 + cos x ln厂3jc 2-1-1=limx-* 0sin x2 + cos x 1 _ sin x6乂 9 x-* o 6(2 + cos x )jc丄_丄_丄_丄 亍衣 方法点评：本题考查不定型#型极限的计算.计算该不定型极限通常使用的方法有：等价无穷小、洛必达法则、麦克劳林公式等，若分 子或分母比较复杂时，注意使用如下技巧：(1) 若题中出现u(x)v( (T) ), 一般转化为；(2) 若题中出现指数函数，一般使用/ 1(-* ()；(3) 若题中出现对数函数，一般使用ln(l +A)( ().使用洛必达法则时请注意：若分子或分母比较复杂，先将分子、分母处理后再使用.若使 用洛必达法则极限不存在，说明本题洛必达法则不适用.(16) L 解】(I)当工& 2,0)时，工+2 & 0,2),则 /(j;) =kf(x +2) =k(x + 2)(乂 + 2严/=kx (jc + 2)(工 + 4)9于是f G)=kx (j; + 2)(工 + 4) 9(jc2 一 4) 92 W V 0，(n )由 /(0 0) = 0,/(0) =/(0 + 0)得/(e)在工=0 处连续./；(0) = lim fd S = lim(r2 4) = 4；工-* ()+ 无 丁-()+/-(0) = lim -= k lim (jt + 2) (h +4) = 8k ,rfO t-0_当 f ； ； (0) = fL (0),即 k = 时,/()在 =0 处可导.(17) ( I )【证明】因为 f x + tc) = | sin t dtJ工+兀| sin(“ + tt) | d=2 | sin “ | d“ = f(jc ),所以f()是以兀为周期的周期函数.( (n)【解】 因为/(工)以兀为周期，所以只需要求函数/在的最大值和最小 值即可得函数/(工)的值域.由八工)=sin jc | = | cos x | 一 | sin x | = 0 9 得乂K 3tz2004年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 10 页，共 15 页2 I sin t I ck = $ sin tdt = 19J 0 J 0,3n兀 sin tdt = 一 cos tT3兀3n：=V2,T. Ct7T3” sin tdt 一 sin tdt = cos t4 兀,+ cos t3nT因为/（0）。