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1、 导数在不等式问题中的应用 宣筱潇 李琪【摘要】导数是中学数学中重要的知识点，是学生必须掌握的知识点。利用导数证明不等式问题，构造新的函数，搭建起不等式和函数的桥梁，将不等式问题化难为易，为解决不等式问题提供新的解题思路。熟练掌握导数在不等式问题中的作用，有利于中学数学阶段的学习。【关键词】导数 不等式 函数 应用【基金项目】2015年度国家自然科学基金项目“若干离散可积方程族的多维反散射变换研究及精确解”。（编号：11561002），主持人：李琪。G42 A 2095-3089（2019）25-0152-02一、引言在数学学习过程中，等式问题是一个非常普遍的现象，而不等式一样也是数学学习中一
2、个重要的知识点。近年来，不等式问题在数学研究领域已经得到了非常广泛的应用和研究。对于一般性的不等式证明问题，采用的方法有比较法、综合法、数学归纳法、分析法、重要不等式法等。对于比较难或者抽象的一些不等式问题，传统方法的局限性问题就比较突出了。导数在高中数学中占据着主导地位，是每位学生必须掌握的知识点，同时在大学课程中，是微积分的基础内容，具有承上启下的作用。导数作为一种重要的解题工具，在许多类型的题目中都有涉及，是一个值得研究的课题。许多学者研究过导数在解决不同类型题目中的作用，熊诗茂研究导数在不等式恒成立求参数范围问题上的作用；1钟宇宁将导数作为研究工具，研究导函数不等式解集的若干求解方法；
3、2曲文瑞、李学军认为导数具有丰富的内涵和几何背景，为函数问题的解决提供了便利的条件；3吴统胜认为学生对于函数压轴题具有恐惧心理，他举例研究了导数处理函数问题的解题策略。4不等式是中学数学一个重要的知识点，证明的方法多种多样，如何通过具体例子采用何种解决办法则是十分关键的。将导数作为一种数学研究工具，利用导数证明不等式，构造出新的函数，利用相关的理论研究探讨，将灵活多变，技巧性强的不等式证明问题变得更加简单。本文利用导数这个工具多角度证明不等式，分别通过导数定义证明定义型不等式，利用导数这个工具将一些不等式问题转化为函数单调性求解，以及利用导数研究不等式问题中常见的恒成立问题。二、利用导数定义证
4、明不等式函数y=f（x）在x0处的瞬时变化率=成为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0。利用导数的定义可以证明一些定义型的不等式问题，仔细观察题目条件和结论，寻找x0邻近区域，利用导数定义完成解题。例如： f（x）=m1sinx+m2sin2x+mnsinnx其中m1，m2，mn都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有|f（x）|sinx|，证明|m1+2m2+nmn|1。分析：该题是不等式的证明，首先需要求出f（x）的导数，观察导数值与问题之间的关系，最后再根据题目已知条件设定x的值证明不等式。证明：f（x）=m1cosx+2m2cos2x+nmncosnx，
5、观察式子可得当x=0时，f（0）=m1+2m2+nmn，将问题转化为|f（0）|1。根据导数定义可得|f（0）|=，由已知条件知|f（x）|sinx|，|f（0）|=1，|m1+2m2+nmn|1成立。即得证。三、利用函数的单调性证明不等式证明可导函数不等式，可利用导数符号和函数单调性的关系来证明。5设函数y=g（x）在m，n上连续，在（m，n）上可导：（1）如果在m，n上g（x）0，那么y=g（x）在m，n上单调递增；（2）如果在m，n上g（x）0，那么y=g（x）在m，n上单调递减。在某些不等式问题上，可通过判断导数大小来判断函数的增减性从而解答不等式问题。例如：已知m0，如何证明mln（
6、1+m）。分析：第一步构造函数，通过作差作商的方式构造一个新的函数。设（m）=m-ln（1+m），当m=0时，（m）=0。若证明当m0时，（m）为增函数就可证明mln（1+m）。证明：设（m）=m-ln（1+m），（m）在（0，）上可导，通过求导，得到（m）=。当m0，（m）0，即（m）在（0，）上是一个增函数，（m）（0）。（0）=0，（m）0，mln（1+m），即得证。导数作为搭建函数和不等式的桥梁，使某些不等式证明化难为易，便于学生解題。利用函数单调性证明不等式的过程可分为三个步骤：（1）构造新的辅助函数（构造函数的方法有很多，有作差法、作商法、不等式两边取对数法等）。（2）对函数求导，
7、判断求导之后的正负性。若求导后大于零，则在定义域内该函数是单调递增，若小于零，则是单调递减。（3）根据题目条件证明不等式。四、利用导数解决恒成立问题不等式的恒成立问题是高中数学中常有的题目类型，难易程度可大可小。在近几年的高考中，不等式的恒成立问题也是一个热点题型，常以最后一道压轴题出现。导数作为一种有效的解题工具，在解决不等式恒成立问题中起到了十分重要的作用。例如：已知y=在R上是恒成立，求a的取值范围。分析：因为在R上是恒成立，也就是对于任意的x，ax2+6ax+a+80。设f（x）=ax2+6ax+a+8，将不等式问题转化为函数问题，利用导数求解函数的最值。若函数的最小值恒大于等于0，则
8、不等式恒成立。求解：（1）当a=0时，f（x）=8，此时满足条件。（2）当a0时，f（x）=2ax+6a，所以x=-3是函数的极小值。继而求出函数的最小值为f（-3）=9a-18a+a+8=8-8a，则8-8a 0，所以a（0，1。（3）当a0时，此时函数开口向下，不能在R上恒成立，所以不成立。综上所述，a的取值范围为0，1。该题是一个带根号的恒成立问题，由于根号的特殊性，学生解题思路相对清晰，后续利用导数求解函数的最值便迎刃而解。不等式的恒成立问题题型较多，具体问题需具体对待。五、建议与思考在不等式的证明过程中，导数的应用十分广泛。定义型的不等式问题可运用导数的定义求解；涉及函数类型的不等式
9、问题中，可通过导数这个工具求解函数的单调性从而证明不等式；不等式恒成立问题是历年来的高考热点，通过导数这个工具可将题目化难为易。不等式题目千变万化，学生在实际做题中如何找准切入点是教师也是学生该引起重视的。本研究的不足之处在于只列举了一部分类型的不等式，且题目数量有限，典型性不够。参考文献：1熊诗茂.基于不等式恒成立求参数范围问题的导数运用J.数学学习与研究，2018（17）2钟宇宁.导函数不等式解集求解方法J.科教导刊，2018（1）：39-413曲文瑞，李学军.函数与导数复习专题J.中学教研（数学），2018（2）4吴统胜.例谈函数导数压轴题的解题突破策略J.中学数学研究，2017（12）5李文光.利用导数方法证明不等式J.云南建设学校，2010，5. -全文完-
