1 2012 年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题 号一二三四五总 分分 值60 20 50 12 8 150 一、选择题（每小题2 分，共 60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号1函数14arctanyxx的定义域是A4,B4,C4, 00, D4, 00, 解：40400 xxxx且.选 C. 2下列函数中为偶函数的是A23log (1)yxxBsinyxxCln( 1)yxxDexy解： A、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数， C 为奇函数选B. 3当0 x时，下列无穷小量中与ln(12 )x等价的是AxB12xC2xD2x解：0 x时，ln(12 ) 2xx.选 D. 4设函数21( )sinf xx，则0 x是( )f x的A连续点B可去间断点C跳跃间断点D第二类间断点2 解：0 x处没有定义，显然是间断点；又0 x时21sinx的极限不存在，故是第二类间断点选D. 5函数3yx在点0 x处A极限不存在B间断C连续但不可导D连续且可导解：函数的定义域为,，3300limlim(0)0 xxxxf，显然是连续的；又3320001(0)limlim(0)xxxffxx，因此在该点处不可导。
选C. 6设函数( )( )f xxx，其中)(x在0 x处连续且(0)0，则(0)fA不存在B等于(0)C存在且等于0 D存在且等于(0)解：易知(0)=0f，且00( )0(0)limlim( )(0)xxxxfxx，00( )0(0)limlim( )(0)(0)xxxxfxfx.故(0)f不存在选A. 7若函数( )yf u可导，exu，则dyA(e )dxfxB(e )d(e )xxfC( )e dxfxxD(e ) dexxf解：根据复合函数求导法则可知：d( )()xxyfu dufe de.选 B. 8曲线1( )yf x有水平渐近线的充分条件是Alim( )0 xf xBlim( )xf xC0lim( )0 xf xD0lim( )xf x解：根据水平渐近线的求法可知：当lim( )xf x时，1lim0( )xf x，即0y时1( )yfx的一条水平渐近线，选B. 9设函数xxysin21，则ddxy3 Aycos211Bxcos211Cycos22Dxcos22解：对xxysin21两边同时求微分有：1cos2dydxxdx，所以ddxyxcos22.选 D. 10曲线1,0( )1 sin ,0 xxf xx x在点(0, 1)处的切线斜率是A0B1C2D3解：易知(0)=1f，01 1(0)lim1xxfx，00sin1 1sin(0)limlim1xxxxfxx，故(0)1f.选 B. 11方程033cxx（其中c为任意实数）在区间(0, 1)内实根最多有A4个B3个C2个D1个解：令3( )3fxxxc，则有2( )330fxx，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。
选D. 12若( )fx连续，则下列等式正确的是A( )d( )f xxf xB( )d( )fxxf xCd ( )( )f xf xDd( )d( )f xxf x解： B、C 的等式右边缺少常数C，D 选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A. 13如果( )f x的一个原函数为arcsinxx，则( )df xxA2111CxB2111CxCarcsinxxCD2111Cx解：( )f x的一个原函数为arcsinxx，那么所有的原函数就是arcsinxxC.所以( )darcsinf xxxxC.选 C. 4 14设( )1fx，且(0)1f，则( )df xxAxCB212xxCC2xxCD212xC解：因为( )1fx，所以( )( )ddf xfxxxxC，又(0)1f，故( )1f xx.21( )d(1)2f xxxdxxxC.选 B. 1520122sind(cos)ddxttxA2cos xB2cos(sin) cosxxC2cosxxD2cos(sin)x解：本题是变下限积分的题利用公式可知201222sind(cos)dcos(sin)cosdxttxxx.选 B. 1621302edxxxA1B0C112eD1e1解：2222211113222212000002eded()deeedxxxxxxxxxxxx22211100ee12exxx.选 C. 17下列广义积分收敛的是A101lndx xxB10301dxxxC11lndx xxD53edxx解： A 选项中112100011ln dln dlnln2x xxxxx，故发散；B 选项中根据结论1()bqadxxa，当1q时发散，本题中43q，故发散；C 选项中根据结论1d(ln)kaxxx，当1k时发散，本题中1k，故发散；5 D 选项中55153311edee55xxx，故收敛。
选D. 18微分方程22dd1ddyyyxx是A二阶非线性微分方程B二阶线性微分方程C一阶非线性微分方程D一阶线性微分方程解：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的选A. 19微分方程dsincosdyxxxy的通解为A22cosyxCB22sinyxCC2sinyxCD2cosyxC解：这是可分离变量的方程有dsincos dy yxx x，两边同时积分有2211sin22yxC，即22sinyxC.选 B. 20在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴正向的夹角分别为45和60，则向量a与Oy轴正向的夹角为A30B60C45D60或120解 ： 对 空 间 的 任 意 一 个 向 量 有222coscoscos1， 现 有,46，从而解得1cos2，所以为60或120.选 D. 21直线12123xyz与平面20 xy的位置关系是A直线在平面内B平行C垂直D相交但不垂直解： 直线的方向向量为1,2,3l， 平面的法向量为2,1,0n， 且0n l，直线上的点0,1, 2不在平面内，所以故该直线和平面平行选B. 22下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是A22132xzB22yxzC22yxzD2222zxy解：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C. 6 23( ,)(1, 1)1lim1xyxyxyA0B12C13D2解：( ,)(1,1)( ,)(1, 1)( ,)(1, 1)1(1)(1)11limlimlim12(1)(1)1xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy.选 B. 24函数( ,)zf x y在点00(,)xy处可微是( ,)f x y在该点处两个偏导数zx和zy存在的A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件解：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充分而非必要条件。
选A. 25已知sin()zxyxy，则2zx yAsin()xyBsin()(1)xyxyCcos()sin()xyxyxyDcos()xyxy解：21cos();cos()sin()zzyxyxyxyxyxx y.选 C. 26幂级数02( 1)!nnnnxn的和函数( )S x为AexB2exC2exD22ex解：由0!nxnxen，可知2002( 2 )( 1)!nnnnxnnxxenn.选 B. 27下列级数发散的是A2134( 1)(1)(2)nnnnnB11( 1)1nnnC111( 1)3nnnD3121(21)nn解： A 选项中一般项趋于40，故发散；7 B、C 选项是交错级数， 满足莱布尼茨定理，故收敛； D 选项根据结论11pnn中1p时收敛，本题中32p，故收敛选A. 28若级数0(2)nnnax在点0 x处条件收敛，则在1x，2x，3x，4x，5x中使该级数收敛的点有A0个B1个C2个D3个解：该级数的中心点是2，又在点0 x处条件收敛，所以可以确定收敛区间为0,4.故在2x，3x处收敛选C. 29若L是曲线3yx上从点(1, 1)到( 1,1)的一条连续曲线段，则曲线积分(e2)d( e3 )dyyLyxxxyy的值为A1ee4B1ee4C1ee4D0解：P( , )=e2yx yy，( , )e3yQ x yxxy，且有1yPQeyx，因此该积分与积分路径无关。
令该积分沿直线yx上点(1, 1)到( 1,1)积分，可有111(e2)d( e3 )d(ee2)ee4yyxxLyxxxyyxxdx.选 C. 30设2 1 2 2 0 0 1 0d( ,)dd( ,)dxxIxf x yyxf x yy，则交换积分次序后，I可化为A 1 2 0d( ,)dyyyf x yxB2 22 0d( ,)dxxyf x yxC 12 0 0d( ,)dyf x yxD2 12 0d( ,)dxxyf x yx解：积分区域可写为：2( , ) 01,0( ,) 12,02Dx yxyxx yxyx，在图象中表示为8 由此可知，积分区域还可表示为( , ) 01,2Dx yyyxy.因此积分可表示为 1 2 0d( ,)dyyyf x yx.选 A. 二、填空题（每小题2 分，共 20 分）31已知2(1)f xxx，则()fx解：(1)(1)fxxx，( )(1)f tt t，因此()(1)fxxxxx. 32设函数2( )lim 1ttxf xt(0)x，则(ln 2)f解：22222( )lim1= lim1=xttxxttxxf xett，2ln 2(ln 2)=4fe. 33如果函数fx( )在点a处可导且f a为fx( )的极小值，则( )fa解：因为极值点是( )0fx或者( )fx不存在的点，现已知函数f x( )在点a处可导，所以( )0fa. 34曲线exyx的拐点是解：(1)xyx e，( 2)xyx e.令0y，可得2x，此时22ye；并且当2x时，0y；当2x时，0y.因此拐点为22(2,)e. 35不定积分21d(1)xx x解：22222111111()(1)ln1ln(1)1212xdxdxd xdxxxCx xxxxx2yx2yx1 2 1 x y 9 36微分方程2d2edxyxyx满足(0)0y的特解为解：原方程对应的齐次线性微分方程为d20dyxyx，可解得2xyCe.用常数变易法，可求得非齐次线性微分方程的通解为2()xyxC e.将(0)0y代入有0C.所以对应的特解为2xyxe. 37向量1,1, 2a在0, 3, 4b上的投影为解：385a b，6,5ab，1cos( , )6a ba bab，故向量a在向量b上的投影cos( , )1rjbP aaa b. 38设方程0 xyxzyz所确定的隐函数为( ,)zz x y，则01xyzx解：令( , , )F x y zxyxzyz.则有,xzFyz Fxy，所以xzFzyzxFxy.由于0,1xy时，0z.代入可知011xyzx. 39设积分区域D为：224xyy，则d dDx y解：d dDDx yS，而积分区域D表示的是以0,2为圆心， 2 为半径的圆，所以4DS，即d d4Dx y. 40若limnnnuk（0k） ，则正项级数1nnu的敛散性为解：limlim01nnnnunukn， 由比较判别法的极限形式可知，级数1nnu和11nn有相同的敛散性，故正项级数1nnu是发散的。
三、计算题（每小题5 分，共 50 分）10 41求极限30tansinlime1xxxx解：原式301sin1coslimxxxx20sin1cos1limcosxxxxxx22000sin12limlimlimcosxxxxxxxx1=242已知参数方程(1 sin )(1 cos )xatyat（t为参数），求22ddyx解：因为ddsindtanddcosdyyatttxxatt所以2232dddsec1ddsecddcosdyyttxtxxatat43求不定。