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1、圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题我们知道,圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一,而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中,我们都会见到这样的类似问题:已知椭圆C的方程为,F1、F2是它的左右两个焦点,点A的坐标为(3,1),试在椭圆上求一点P,(1)使得|PA|+|PF2|最小;(2)使得|PA|+2|PF2|最小,并求出相应的最小值。(亦可把椭圆改为双曲线或抛物线,同样有类似的问题)类似于这样的问题,初学者往往很难作答,即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。基础好的同学还可以理解,一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对,还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例,给
2、出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。关于|PA|+|PF2|最小值的问题,同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题:如图,已知A、B两点在直线L的同侧,试在L上求作一点P,使得|PA|+|PB|最小。(相对应的还有一个应用题:A、B两个小村庄,L是一条河,今要在河上架设一座大桥,使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短,应该如何选址?)BALPOB/我们知道两点之间的连线中,线段最短,所以|PA|+|PB|AB|显然等号不成立,因为A、B在直线L的同侧,如果A、B两点在L的异侧就好了,因为A、B若在L异侧,线段AB就与L相交,交点即为所求作的P点。所以能不能在L的另一侧找到一点B/
3、,使得|PB/|总是等于|PB|呢?求作点B(或者A)关于直线L的对称点B/即可。B/ALQOBQO转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点,问题就得以解决。比如:请在L上再找一点Q,使得|QA|-|QB|最大?同样道理,|QA|-|QB|总是小于|AB|,如能等于|AB|就行。我们还是转化,异侧两点同侧化,当Q为AB/的延长线与L的交点Q/时,|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|AB/|。(这里B关于L的对称点B/与A的连线要与L相交才行,否则Q/点不存在)我们总结得到:同侧和最小异侧化,异侧差最大同侧化。根据以上分析,我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的
4、类似问题。能不能将椭圆C内部(同侧)的两点A或者F2转化为一内一外呢?显然无法作出点A(或者F2)关于曲线(椭圆)的对称点(没听说过),使得|PA|总是等于|PA/|。AF2F1PxyoNM如图,|PA|+|PF2|总是大于|AF2|,但|PA|-|PF2|还是能够等于|AF2|,作直线AF2,与椭圆交于M、N两点,当P运动到图中的N点时,|PA|-|PF2|=|AF2|,当P运动到图中的M点时,|PA|-|PF2|= -|AF2|能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢?所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略:回归定义。椭圆的第一定义是:平面内到两定点F1、F2的距离之和
5、等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A(或点F2)转移到椭圆外,但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|,于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1PxyoRS要求|PA|+|PF2|的最值,就等价于求|PA|-|PF1|的最值。如图作直线AF1交椭圆于R、S两点,则 -|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。那么对于(2)又如何解答呢
6、?与(1)相比,就是在|PF2|前多了个系数2,也只能是2(否则无解),我们可以用圆锥曲线的统一定义,将同侧(内部)问题转化为异侧问题来求解。AF2F1PxyoMl椭圆的第二定义是:平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点,定直线为此焦点相应的准线,小于1的常数就是椭圆的离心率e。如图,PMl于M,则,所以|PM|=|PF2|本题中,椭圆的离心率e=,所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|,于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题,也就是说将同侧(内部)两点的距离和问题转
7、化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时,|PA|+|PM最小,即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点,则P即为所求作。这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法,即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化,即同异互化,回归定义。本文开头的问题具体解答如下:AF2F1PxyoRS(1) 由已知椭圆方程得:a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因为P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF
8、1|=|PA|-|PF1|+8过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点,因为|PA|-|PF1|AF1|=,AF2F1PxyoMl所以8-|PA|+|PF2|8+当P为S点时,|PA|+|PF2|的最小值为8-当P为R点时,|PA|+|PF2|的最大值为8+(2)易求得椭圆的离心率为e=,右准线l方程为x=8过P作l的垂线交l于M点,则|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|,当A、P、M三点共线且垂直于l时,|PA|+|PM|最小,且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5,所以|PA|+2|PF2|的最小值为5,此时点P的纵坐标为1,将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).下面我们给出几个题目供同学们练习巩固:1已知两点A(4,1)和B(-1,11),(1)试在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|最小。(2)试在y轴上求一点Q,使得|PA|-|PB|最大。2已知A(3,1),双曲线C的方程为,F1、F2是它的左右两个焦点,试在双曲线C上求一点P,(1)使得|PA|+|PF2|最小;(2)使得|PA|+|PF2|最小.3已知A(4,1),F为抛物线y2=4x的焦点,P为抛物线上任一点,求|PA|+|PF|最小值。