九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版

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1、九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结 人教新课标版 九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结 人教新课标版 人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如yax2bxca，b，c是常数，a0的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数yax2bxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二次函数各种形式之间的变幻 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式

2、，其中 2hb2a，k4acb4a2. 二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k； yaxh；yaxhk；yax2bxc. 22二次函数解析式的表示方法 一般式：yax2bxca，b，c为常数，a0；顶点式：ya(xh)2ka，h，k为常数，a0； 两根式：ya(xx1)(xx2)a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数yax2bxc图象的画法 五点绘图法：

3、利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0假设与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交 点. 二次函数yax的性质 a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质x00，00，0y轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下yx0轴x的增大

4、而增大；x0时，y有最大值01 二次函数yax2c的性质 a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x00，c0，c2y轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x0x的增大而增大；x0时，y有最大值c二次函数yaxh的性质： a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质xhh，0h，02时，y随x的增大而增大；xh时，yX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值0xha0向下X=h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0二次函数yaxhk的性质 a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上

5、性质xhh，kh，k时，y随x的增大而增大；xh时，yX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值kxh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下X=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值k抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； b2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y轴或重合的直线记作x4acb，顶点坐标： 2a4ab2.特别地，y轴记作直线x0. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线yax

6、bxc中，a,b,c与函数图像的关系 二次项系数a 二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 一次项系数b 2在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴在a0的前提下， 当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当

7、b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结： 常数项c 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法： b2yax22b4acbbxcax2

8、a4a2，顶点是 b4acb，对称轴是直线x.，2a2a4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得 2到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才干做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 22交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

9、yaxx1xx2. 直线与抛物线的交点 y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c). 与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点 (h,ah2bhc). 抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐 标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点顶点在x轴上0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离. 平行于x轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵 坐标为k，则横坐

10、标是ax2bxck的两个实数根. 一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像 ykxnG的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同2yaxbxc的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点. 抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线yax2bxc与x轴两交点为 Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故 2x1x2ba,x1x22ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab4aca2a 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表 达 关于x轴对称 y

11、ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk2关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 2关于y轴对称 yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk2关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 2关于原点对称 yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 关于顶点对称 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxcyaxhk222222b22a； 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk 4 关于点m，n对称 yaxhk2关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh

12、2m2nk 2总结：依据对称的性质，显然无论作何种对称变幻，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤： 2将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；坚持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下： y=ax2向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定点Q，

13、直线y(a2)x2经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。平移式。 1，把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线 y=a(x-h)+k,求此抛物线解析式。 2，抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。 1，抛物线y=ax+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m0)与x轴交于A、B

14、两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。 1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x+ax+4,交x轴于A,B点A在点B左边两点，交y轴于点C,且 OB-OA= 342 22 OC，求此抛物线的解析式。 对称式。 1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A-10，0，AC=16，D2，6。AD交y轴于 E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴或x轴对称的抛物线的解析式。切点式。 1，已知直线y=ax-a2(a0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A2，1,求抛物线的解析式。判别式式。