附录1交流异步电机多变量数学模型及广义派克方程在对交流电机暂稳态特性进行分析和控制时，坐标系的选择是一个重耍的问题，即采用 何种坐标系才能更简便地给岀分析结果和更准确地控制系统动静态特性的问题自从勃朗台 尔（Blondci）提出双反应理论（1899年）及福提斯库（Fortescue）提出对称分量法（1918 年），到派克（Park）提出旋转变换（1929年）及顾毓壬秀（Ku）提出复数分量变换（1929年） 以来，交流电机分析理论H渐成熟，各种坐标系（0、0、0, d、q、0, 1、2、0, F、B、0 等）下的的电机模型种类繁多，这些模型在分析电机过渡过程时所得的结论己为大家熟悉 川⑵尽管数字计算机的应用为庞大的数值计算提供了有力的工具，使得我们能够解决越来 越复杂的问题，但在实时控制系统当中，人们还是希望用简易的模型和方法取得接近满意的 效果上述各种坐标变换无疑使三相电机的分析和控制大大简化，但是，既然线性变换不改 变系统的物理特性，那么各种坐标系下的电机模型之间就应该存在着本质的联系，而不应被 完全割裂开来，这种关系是怎样的呢？这就是广义派克方程要回答的问题本节从三相异步电机出发，通过严格的数学坐标变换导出在静止坐标系下的等效电机模 型，进而推广至任意坐标系下即得广义派克方程，并把己知的各种坐标变换加以总结和统一。
广义派克方程简单易记，由它可方便地引申出众所周知的Q、0、0, d、q、0, 1、2、0, F、 B、0等坐标系下的电机模型，在电压型或电流型逆变器给电机供电时，还导致了一些新的 控制方法的产生一、三相电机模型首先让我们看一下异步电机的动态电磁关系设所要分析的三相异步机具有图1-1所示 模型结构，并满足下列条件：1） 电机定、转子三相绕组完全对称；2） 电机定、转子表面光滑，无齿模效应；3） 电机气隙磁势在空间中正弦分布；4） 铁芯的涡流饱和及磁滞损耗忽略不计S2q图i-i三相异步电机模型如取定、转子各电磁量的正方向符合电动机法则，则异步电机的基本电磁关系可由方程 (i-i)表示：[u] = [Rli] + p[y/] (1-1)其中"] = [% % % % % urc]!P] = [f[R] = Diag[Rs Rs Rs Rr Rr Rr]r「讪一「匕J [s⑹]]仏]]仏⑹]Lrr J在磁通表达式中，各子向量和子矩阵分别为:[订=匸•/~ LMM 1SSSS[S ]=My陆MMsL-[几]=\}rahe.TMrM；[才M,・-Mr网Mr[妙」=l^ra 忤 0“]COS&cos & +COS&C 4龙) cos & + ——I 3 )L 2/r\I 3丿srcos 0 +COS& +纠I 3 )cos0各变量及参数的定义见附录。
因为电机转子是转动的，所以［Ls」、［lJ中的角度在不断变化，电机电压和转矩方程 分别为：(1-2)(1-3)[u] = [Rli] + [Lli] + e ^[Lli]心=挣]鶴[厶』：]+叮鶴[讥]}二、坐标变换山方程(1・1)、(1-2). (1-3)可知，即使在简化的情况下，这些关系也是很复杂的，山 于电感系数是随时间变化的，因此，利用这些方程来研究电机的运行相当困难首先让我们纯粹地从数学意义上來看如何化简方程(1・1)中的系数矩阵，例如［4,］ 0此矩阵为对称矩阵，我们冃的是通过适当的坐标变换矩阵［C］使英化简，具体讲即对角化为使矩阵对角化，首先须求出矩阵的特征值，即令：加％］-川］卜0展开得:Lss - 2厶$ - 2=0Lss - Q&-2) + 町-一 2)即:= (Lss-A-Ms)2^-Ls-2Ms) = 0解得重根：厶=Lss - Ms 等效两相定子自感单根：L = L,,+2M, 等效零轴电感Z ■ 变换后的电感矩阵为：Lsn = Ls厶$o将特征值&、厶0代入矩阵［厶J所表示的方程组中可解得对应的特征向量应满足的关系式: (1-4)对应于重根 A = Lss-Ms ,有 X}+X2^-X3=0对应于单根 2 = &$+2M$ ,有 = X2 = X3 (1-5)因为任何性线变换均不改变系统的物理本质，根据能量守恒定律，变换前后的能量表达 式应该是相等的，即：［色丁上］二bmJcyMGv］。
由此得出［cf［c］=［i］,即： ［c『=［c］1 ,可见［C］必为正交矩阵我们又知道，两相电机和三相电机一样，也同样可以 产生旋转磁场，这也为变换后的电感系数矩阵所证明，它包含一个零轴等效电感的和一个两 相等效电感现在我们就和用三相电机和两相电机之间的关系来确定变换矩阵［C］的值设有如图1・2所示的两个电机，等效两相电机的定子绕组为注意：这里我们 借用了大家所熟悉的0,3, 0坐标系的符号，但意义是不同的图1-2等效两相电机模型设①,分别为两相和三相电机绕组的有效匝数，等效的条件是气隙中产生的磁通相等，即：= B2m o 而:2龙 4tt场加二灿叽 C0S+ n.ish cos(— 一 鸭)+ gsccos(— 一 0)}sa ^5C如3
n2f 1、+ (」2 .( \n31 2>1 2>J＜刃2丿由（1『+得：生n2r vr2> •( \1 2丿＜斤2）=1由[占j (x2 +x2 +X2) = 1 得:x =17f最后得 Concordia 变换矩阵：[is ] = [c][z^ ][cjc小职_丄_2V|2_V|2一V2丄血 172对匕」[ — （&）] = [ — （&『和电压电流做同样的变换Ln=[c]-l[c]^：lLrN.=其中：L「o = L” +2[厶為=[厶罰YCOS0sin&0一 sin&COS&0x-Myr2 、厂(1-9)[你]二[C『[Rlcli, ] + [C『[C]恥]=[RfiN ] + /矶] 此变换相当于在定子和转导上分别用两相绕组代替三相绕组，因此在[LsrN] = [L^ 中还存在cossin&项，使得电压和转矩的表达式的系数中始终存在着时变量，计算起来还 是很不方便现在我们就来用新的变换来导出参数坐标轴放在定子上的电机动态方程因为在中点不接地的电机中，零轴分量不产生跨过气隙的基波磁通，也就不出现在转矩 表达式中，因此在以下的分析中略去不计现在只考虑等效两相电机的磁通表达式：V.s/_ 40Lm cos &- —sin 0~■ha%0&S sin 0Lm cos 0%Lm cos 0L.n sin 00•^va-5 sin 0Lm cos 00厶_将定子磁通表达式展开得：% = LJ + L也(cos o • ira _ sin 0 • irfi)叽卩=Lg + (sin 3 • ira + cos。
• irf})cos&.-sin&fdsiW+cos&•切讥则得到一个新的变换矩阵[B]=lra5cos 3sin&cos& sin&一 sin& cos0— sin0cos&lra(MO)我们注意到[B]为单位止交矩阵，即=[B]\它的物理意义可通过图2-2来解释，相 当于用比、％轴上的变量irdArq来代替為g，条件是在气隙中产生相同的磁势通俗地 讲就是把转子上的变量通过旋转变换移到定了上来分析了Sa-5,图1-3 旋转变换关系对转子磁通做同样的变换后可得新的坐标系中的磁通表达式V./00 ■叭q0Lx0-0L,00L”0在上以的分析中，我们借用了众所周知的d、q、0坐标系的符号，但要注意到它们实 际的区别现在来看在新的坐标系下电压和转矩的表达式由方程(1・1)得:1)定子电压表达式:［知卜町氏同打+町腋阮』=klkj+pkj(1-12)%二&嘉+厶0衍+厶”0皿 %]=R」sq+L$pi$q+LmPirq2)转子电压表达式：kJ = [CF k][c][B][/J + [B]- [C]-1 • p{[c][B]kJ}3)即： uni=Rrirq + py/r(l-co^rd co= p6电磁转矩表达式：Ten,=[汀务—][叮=LmQjrd - Urq)(M3)(1-14)式(1-12), (1-13), (1-14)实际上就是把坐标轴放在定子上的派克方程，也就是众所周知的0、0、0坐标系下的电机模型。
但如果我们仅仅到此为止，那么除做了 0、0、0变换的数学证明之外没有什么意义我们下面将要做的是把［B］变换推广到任意坐标轴上，以得出 广义派克方程三、广义派克方程及其复变形式现在我们来看把〃、q轴放在任意位置或以任意角速度旋转时得到的电机模型是怎样的 设d、q处于如图3・1所示的位置并以任意角速度纳 旋转，它相对于定子a相绕组转过的角度用卩来表示，y = ^a)kdt o 图1-4任意坐标系〃、q轴绕组如前所述，"、0轴为等效两相电机的绕组这样考虑不失--般性，因为我们总是可以用坐标变换把任意相电机等效为两相电机Q、0轴上的变量等效到d、q轴上的坐标变换分别为:定子:转子:rdcosy sin / 一 sin / cos ycos[y-^] sin(/-^)_ sin(y- 0)cos[y_ 0}[5jx ra所以:VsdWsqZ ・hd+rdMT时⑹卜M+lsd.Lr_I—5同理可得:可见此时的磁通表达式和(1-11)式完全相同 现在我们來看一下在上述地标变换下的电压和转矩表达式1)电压表达式：kj=M~ lusN ]=[Bj_1 R Ib」L ]+[Bsr pM •[$.]}[&}$」+ 卩肌]+ pMv^sP]pr(1-15)对于转子电压方程来讲，除角度变为y-e外，其它各项均类似定子电压式，即把下标换为r即可。
又因 [对嗣二0 -11 0，因此得电压表达式:% = RJ + PVsd - PMq% = RJrq + + P(y_&)$d(1-16)2)转矩表达式:TetnJ J鶴匕(呱。