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1、高二数学竞赛试题考试时间:120分钟,总分150分 (2007年1月20日下午3:505:50) 班级_、学号_ 、姓名_一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 请把答案填入后面指定的空格里。1.在数列和中，且对于任意自然数,，是与的等差中项，则等于（ ）(A) 96 (B) 48 (C) 32 (D) 242.ABC中，则比式等于( )(A) (B)(C) (D)3.E，F是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则EPF的最大值是( )(A)15 (B)30 (C)60 (D)454.双曲线的一个焦点为F1，顶
2、点为A1、A2，P是双曲线上任意一点则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定( )（A）相交（B）相切(C)相离（D）以上情况均有可能5.若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是( )(A)64 （B）66 （C）68（D）706.在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1a2，a2a3，a3a4，a4a5的排列的个数是( )（A）8（B）10（C）14（D）167.方程6(5a2b2)5c2满足c20的正整数解(a,b,c)的个数是( )（A）1（B）3（C）4（D）58.若空间四点满足，则这
3、样的三棱锥共有（ ）个（A）0 （B）1 （C）2 （D）多于29.递增数列1,3,4,9,10,12,13,，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为( )（A）729 （B）972 （C）243（D）98110.已知实数、满足，则的最大值是( )(A)12 (B)20 (C)28 (D)36二、填空题: 本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在题中横线上.11.对于实数x，当且仅当nxn1（）时，规定xn，则不等式的解集为12.在棱长为2的正方体 中, 点 、分别是棱 、 、 的中点, 那么四面体 的体积是_13.函数满足，且对任意正整数都
4、有，则的值为 14.为的三个内角，且.则_.15.如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是 16. 已知，a、qR，a0那么，对于任意的a、q，F(a,q)的最大值和最小值分别是 班级 姓名 学号 一、 选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（每小题8分，共48分） 11、 12、 13、 14、 15、 16、 三、解答题：17（本题16分）设一个三直角的四面体PABC（即APB=BPC=CPA=90）的六棱长度之和是S，试求（并加以证明）它的体积的最大值18.（本题18分） 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线
5、上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.19. （本题18分）（1）是否存在正整数的无穷数列，使得对任意的正整数n都有。（2）是否存在正无理数的无穷数列，使得对任意的正整数n都有。 BDBBBDCADC 17.设三条互相垂直的棱为AP=a，PB=b，PC=c由已知得于是18.解： 如图, 设线段 的中点为 过点 、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、, 则 6分假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 ，所以， 12分于是， 故若 (如图)，则. 18分当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, 故 为正三角形. 21分若 ，则由对称性得 又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是， 直线 的斜率为 19.（1）假设存在正整数数列满足条件。又所以有对n=2，3，4，成立。所以。设，取，则有，这与是正整数矛盾。所以不存在正整数数列满足条件。（2）就是满足条件的一个无理数数列。此时有。
