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1、第2讲整式运算及因式分解2考题初做诊断考点一考点二考点三考点一代数式1.概念用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母是(填“是”或“不是”)代数式.注意:代数式中不含等号、不等号.2.列代数式把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出来.3.代数式求值用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫做代数式的值.3考题初做诊断考点一考点二考点三4.整式的相关概念(1)单项式:用数或字母的积表示的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式
2、的系数,一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式:几个单项式的和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.(3)整式:单项式和多项式统称为整式.4考题初做诊断考点一考点二考点三考点二整式的运算(高频)1.整式的加减(1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项,常数项是(填“是”或“不是”)同类项.(2)合并同类项法则:几个同类项相加,把它们的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的次数都不变.(3)去括号法则:a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c.
3、(口诀:“+”不变,“-”变)(4)整式加减运算可归纳为:先去括号,再合并同类项.5考题初做诊断考点一考点二考点三2.幂的运算(m,n,p为正整数) 6考题初做诊断考点一考点二考点三3.整式乘法运算 7考题初做诊断考点一考点二考点三4.整式除法运算 8考题初做诊断考点一考点二考点三考点三因式分解(高频)1.概念把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解.注意:(1)因式分解的结果一定要分解到每个因式不能再分解为止;(2)能提取公因式的一定要提取公因式,特别是数字因式时不能忽略;(3)结果一定是积的形式.2.方法(1)提公因式法ma+mb=m(a+b).公因式的确定.系数:取各项系数的最大
4、公约数;字母:取各项相同的字母;指数:取各相同字母的最低次幂.9考题初做诊断考点一考点二考点三(2)公式法3.一般步骤一提:如果多项式各项有公因式,应先提取公因式.二套:如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式.当多项式为两项时,考虑用平方差公式,当多项式为三项时,考虑用完全平方公式.三检查:检查因式分解是否彻底,是不是分解到每一个多项式都不能再分解为止.10考法必研突破命题点1命题点2命题点3命题点1代数式1.(2014安徽,7,4分)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( B )A.-6B.6C.-2或6D.-2或30解析 x2-2x-3=0,2(x2-2x-3)=0,即2
5、(x2-2x)-6=0.2x2-4x=6.故选B.11考法必研突破命题点1命题点2命题点32.(2012安徽,5,4分)某企业今年3月份的产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( B )A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元解析 根据4月份比3月份减少10%,可得4月份的产值是a(1-10%)万元,5月份比4月份增加15%,可得5月份的产值是a(1-10%)(1+15%)万元,故选B.12考法必研突破命题点1命题点2命题点3命题点2整式运算3.(20
6、18安徽,3,4分)下列运算正确的是( D)A.(a2)3=a5B.a2a4=a8C.a6a3=a2D.(ab)3=a3b3解析:(a2)3=a6,A不符合题意;a2a4=a6,选项B不符合题意;a6a3=a3,C不符合题意;(ab)3=a3b3,D符合题意.故选D.4.(2017安徽,2,4分)计算(-a3)2的结果是(A)A.a6B.-a6C.-a5D.a513考法必研突破命题点1命题点2命题点35.(2016安徽,2,4分)计算a10a2(a0)的结果是 ( C )A.a5B.a-5C.a8D.a-86.(2014安徽,2,4分)x2x3=( A )A.x5B.x6C.x8D.x9解析
7、根据同底数幂相除的性质,当a0时,a10a2=1010-2=a8,故选C. 解析 x2x3=x2+3=x5.故选A. 14考法必研突破命题点1命题点2命题点37.(2013安徽,4,4分)下列运算正确的是( B )A.2x+3y=5xyB.5m2m3=5m5C.(a-b)2=a2-b2D.m2m3=m68.(2012安徽,3,4分)计算 的结果是( B )A.-2x5B.-8x6C.-2x6D.-8x5解析 A.2x+3y无法计算,故此选项错误;B.5m2m3=5m5,故此选项正确;C.(a-b)2=a2-2ab+b2,故此选项错误;D.m2m3=m5,故此选项错误.解析 =(-2)3(x2)
8、3=-8x6,故选B. 9.(2012安徽,15,8分)计算:(a+3)(a-1)+a(a-2).解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3. 15考法必研突破命题点1命题点2命题点3命题点3因式分解10.(2018安徽,5,4分)下列分解因式正确的是( C)A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)11.(2017安徽,12,5分)因式分解:a2b-4ab+4b=b(a-2)2. 13.(2012安徽,4,4分)下面的多项式中,能因式分解的是( D )A.m2+n B.m2-m
9、+1C.m2-nD.m2-2m+112.(2014安徽,4,4分)下列四个多项式中,能因式分解的是( B )A.a2+1 B.a2-6a+9C.x2+5y D.x2-5y16考法必研突破命题点1命题点2命题点314.(2016安徽,12,5分)因式分解:a3-a=a(a+1)(a-1). 解析 a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1). 15.(2013安徽,12,5分)因式分解:x2y-y=y(x+1)(x-1).解析 x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1). 17考法1考法2考法3考法4考法5考法1列代数式例1(2016海南)某企业去年的年产值为a万元,今年比去年增长1
10、0%,则今年的年产值是万元.答案 1.1a解析 去年的年产值为a万元,今年比去年增长10%,所以今年的年产值是a(1+10%)=1.1a(万元).方法总结在增长率问题中,若增长率用x表示,则在a的基础上一次增长后可用a(1+x)表示,而连续两次增长后可用代数式a(1+x)2;若降低的百分率为x,则在a的基础上连续两次降低后得到的结果可用代数式a(1-x)2表示.18考法1考法2考法3考法4考法5对应练 1(2017山西)某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为1.08
11、a元.19考法1考法2考法3考法4考法5对应练 2(2018湖北随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10)和“正方形数”(如1,4,9,16),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为( C)A.33 B.301 C.386D.57120考法1考法2考法3考法4考法5解析:“三角形数”图形中,第1个图形有1个点,第2个图形有1+2=3个点,第3个图形有1+2+3=6个点,第4个图形有1+2+3+4=10个点,14,于是最大的“正方形数”n=142=196,则m+n的值为190+196=386.21考法1考法
12、2考法3考法4考法5考法2求代数式的值例2(2017四川内江)若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x-2 017=.答案:-2 020解析:由x2-2x-1=0,得x2=2x+1,把x2=2x+1代入2x3-7x2+4x-2 017,得2x3-7x2+4x-2 017=2x(2x+1)-7(2x+1)+4x-2 017=4x2+2x-14x-7+4x-2 017=4(2x+1)-8x-2 024=-2 020.方法总结求代数式的值的问题,我们可以把代数式中的字母的值直接代入求解,通常的做法是如果代数式能分解因式,那么分解因式后进行化简,然后求值.也可以把要求的代数式进行变形,整
13、体代入求解.22考法1考法2考法3考法4考法5对应练 3(2018重庆A卷)按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是( C)A.x=3,y=3B.x=-4,y=-2C.x=2,y=4D.x=4,y=2解析:当x=3,y=3时,输出的值为15;当x=-4,y=-2时,输出的值为20;当x=2,y=4时,输出的值为12;当x=4,y=2时,输出的值为20,故选C.23考法1考法2考法3考法4考法5对应练 4(2017江苏南通)已知当x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则当x=-m时,该多项式的值为3.对应练 5(2018湖南长沙)先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其
14、中a=2,b=_.解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,所以m+1=0,n=0.所以m=-1,n=0.所以当x=-m=1时,x2+2x+n2=3.解:原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab,当a=2,b=- 时,原式=4+1=5.24考法1考法2考法3考法4考法5考法3幂的运算例3(2018黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是()A.a2a3=a6B.(a2)2=a4C.a8a4=a2D.(ab)3=ab3答案:B解析:选项A,根据同底数幂的乘法可知,a2a3=a2+3=a5,此选项错误;选项B,根据幂的乘方可知,(a2)2=a22=a4,故此选项正
15、确;选项C,根据同底数幂的除法可知,a8a4=a8-4=a4,故此选项错误;选项D,根据积的乘方可知,(ab)3=a3b3,故此选项错误.故选B.25考法1考法2考法3考法4考法5方法总结(1)此类问题容易出错的地方是不会判别什么是同类项;错将幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的法则相混淆;没有理解幂的乘方运算的意义.(2)对于幂的有关运算,关键掌握其运算法则.26考法1考法2考法3考法4考法5对应练 6(2010安徽)计算(2x)3x的结果正确的是( A)A.8x2B.6x2C.8x3D.6x3对应练 7(2018湖北恩施)下列计算正确的是( B)A.a4+a5=a9B.(2a2b3)2=4a
16、4b6C.-2a(a+3)=-2a2+6aD.(2a-b)2=4a2-b2解析:本题主要考查积的乘方的性质,单项式的除法,熟练掌握运算性质是解题的关键.(2x)3x=8x3x=8x2.故选A.27考法1考法2考法3考法4考法5考法4整式的运算例4(2017海南)计算:(x+1)2+x(x-2)-(x+1)(x-1).解:原式=x2+2x+1+x2-2x-(x2-1)=x2+2x+1+x2-2x-x2+1=x2+2.方法总结本题考查了整式运算,熟悉平方差公式、单项式乘多项式的法则、合并同类项法则是解题的关键.28考法1考法2考法3考法4考法5对应练 8(2018湖北武汉)计算(a-2)(a+3)的结果是( B)A.a2-6B.a2+a-6C.a2+6D.a2-a+6对应练 9(2018江苏镇江)化简:(a+1)2-a(a+1)-1.解:原式=a2+2a+1-a2-a-1=a.解析:(a-2)(a+3)=a2+3a-2a-6=a2+a-6.故选B. 对应练 10(2018湖南邵阳)先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b= .解:原式=a2-4b2
