1 / 19 数形结合的思想方法 (1)-讲解篇一、 知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的在联系， 将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形 ：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点 ：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值围二、 解题方法指导1转换数与形的三条途径：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等2运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形在的属性由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系三、 数形结合的思想方法的应用( 一) 解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、 解决问题的目的 . 1. 与斜率有关的问题【例 1】已知： 有向线段PQ的起点 P与终点 Q坐标分别为P （-1 ，1），Q （2， 2） . 若直线 l x+my+m=0 与有向线段PQ延长相交，数 m的取值围 . 解： 直线 l 的方程 x+my+m=0可化为点斜式：y+1=- （x-0 ），易知直线l 过定点 M （0，-1 ），且斜率为 -. l与 PQ的延长线相2 / 19 交，由数形结合可得：当过M且与 PQ平行时，直线l 的斜率趋近于最小；当过点M 、Q时，直线l的斜率趋近于最大. 【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M （0，-1 ）和斜率 -. 此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值围. 2. 与距离有关的问题【例 2】求： y=（ cos-cos +3）2+（sin -sin -2 ）2的最大（小）值. 【分析】可看成求两动点 P （cos，sin ）与 Q （cos-3 ，sin +2）之间距离的最值问题. 解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1和（ x+3）2+（y-2 ）2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题. 如图： 3. 与截距有关的问题【例 3】若直线 y=x+k 与曲线 x=恰有一个公共点，求k 的取值围 . 解：曲线 x=是单位圆x2+y2=1 的右半圆（ x0）， k 是直线 y=x+k 在 y 轴上的截距 . 由数形结合知：直线与曲线相切时， k=- ，由图形： 可得 k=- ，或-1k 1. 4. 与定义有关的问题【例 4】求抛物线y2=4x上到焦点F 的距离与到点A（3，2）的距离之和为最小的点P 的坐标，并求这个最小值. 【分析】要求 PA+PF的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题. 解： P是抛物线y2=4x 上的任意一点，过P 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为 D，连 PF（ F为抛物线的焦点），由抛物线的定义可知：. 过 A作准线 l 的垂线，交抛物线于P，垂足为Q ，显然，直线AQ之长小于折线AP D之长，因而所求的点P即为 AQ与抛物线交点 . AQ 直线平行于x 轴，且过 A（3，2），所以方程为y=2，代入 y2=4x 得 x=1. P（ 1，2）与 F、A的距离之和最小，最小距离为4. 【点评】（1）化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题. （2）若点A 在抛物线外，则点P 即为AF 与抛物线交点（分AF）. ( 二) 数形结合在函数中的应用 1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化.【例 5】已知方程x2-4x+3=m 有 4 个根，则实数m的取值围 . 【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决. 解： 方程 x2-4x+3 m根的个数问题就是函数y=x2-4x+3 与函数 y=m图象的交点的个数. 作出抛物线y=x2-4x+3= （x-2 ）2-1 的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，得到 y=x2-4x+3 的图象，再作直线y=m ，如图所示：由图象可以看出，当0m1时，两函数图象有4交点，故 m的取值围是（ 0，1）. 数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提. 2. 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一. 在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中.【例 6】确定函3 / 19 数 y=的单调区间 . 画出函数的草图，由图象可知， 函数的单调递增区间为（- ， 0， 1，），函数的单调递减区间为0，1. 3. 利用数形结合解决比较数值大小的问题 【例 7】 已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：对任意的xR都有 f（x+4）=f （x）；对任意的0 x1x22，都有 f（x1）f（ x2）； y=f（x+2）的图象关于y 轴对称 . 则 f（4.5 ），f （6.5 ）， f （7）的大小关系是 . 解：由： T=4；由： f （x）在，上是增函数；由：f （ x） f（x），所以f （x）的图象关于直线x=2 对称 . 由此，画出示意图便可比较大小 . 显然， f （4.5 ）f （7）f （6.5 ）. 4. 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点. 利用数形结合常能使我们找到解决此类问题的捷径.【例 8】 设 f （x）， g（x）分别是定义在上的奇函数和偶函数，在区间a，b（ ab0，且 f （x）y=f （x） g（x）在区间b，-a上（）. . 是增函数且有最小值 . 是减函数且有最小值 . 是增函数且有最大值 . 是减函数且有最大值【解析】 f （ x）g（x）+f （x）g（ x）=f （x） g（x） 0. y=f （x） g（x）在区间 a，b（ abax 的解集是 x|0ax 的解集是 x|0 x 4，即要求半圆在直线的上方，由图可知 a0，所以选 . 【点评】本题很好的体现了数形结合思想在解题中的妙用. 【例 10】 若 x（，）时，不等式（x-1 ）2logax 恒成立， 则 a 的取值围是 （）. . （0，1）. （，）. （，. ，解：设 y1= （x1）2（1x2） ，y2=logax. 由图可知若y1y2（1x1. y1= （x-1 ）2过 （，） 点， 当 y2=logax 也过 （，） 点， 即 a=2 时， 恰有 y1y2（1x2）a2 时（ x-1 ）20），那么不等式xf（x）0 的解集是 （）. . x|0 xa . x|-axa. x|-axa . x|x-a或 0 x0），可得到f （x）图象，又由已知xf （x）0，可知 x 与 f （x）异号，从图象可知，当 x（ -a ，）（ a，+）时满足题意，故选. 【例 12】 设函数 f（ x） 2，求使 f（x）的取值围 . 【解法】由f（x）得 2 . 易求出 g（ x）和 h（x）的图象的交点立时，x 的取值围为，+） . 【解法 3】 由的几何意义可设1（，），（，），（x，y），则，可知的轨迹是以1、为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，），由双曲线的图象和x+1x-1 知 x. 【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明”的解题情境. （四） 运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果. 【例 13】函数 f （x）=sinx+2sinx，x，的图象与直线y=k 有且仅有个不同的交点，则 k 的取值围是 . 【分析】 本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大节约时间，提高考试的效率. 解： 函数 f （x） 由图象可知： 1k3.【例 14】 当 0 x时， 函数 f （x） 的最小值为 （） . . 5 / 19 . . . 解： y=则 y 为点（，）与点（sin2x ，3cos2x ）两点连线的斜率， 又点的轨迹方程（0），即 x2+ （x0），如图， 当过点的直线l y=kx+5与椭圆 x2+（ x0）相切时， k 有最小值，故选. 【例 15】若 sin +cos=tan （ 0），则（）. 解：令 f （x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（ 0. 再令，则sin+cos= .366 ，tan= 1.7321.367 ，由图象知 xP 应小于 . 故选 . 【点评】本题首先构造函数f（x）， g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定，淘汰了、两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项，起到了出奇制胜的效果 . 【例 16】 已知函数f （x）是定义在（，）上的奇函数，当0 x3 时 f （x）图象如下图所示，那么不等式f （x）cosx0 的解集是（） . 解：函数 f （ x）定义在（，）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f （x）在（，）上的图象如图所示，若使 f（ x）cosx1 y A D O B x C y A D O x 7 / 19 时，关于 x 的方程 ax=logax 无实解 . ”正确与否 . 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax 及 y=logax的图象（ a1）（如图1），可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确. 【评析】实际上对不同的实数a，y=ax 和 y=logax的图象的延伸趋势不同.例如当a=2 时，方程无实数解；而当a=时， x=2是方程的解 . 说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x 上 .2 、注意图象伸展“速度”【例20】比较 2n与 n2的大小，其中n 2，且 nN+. 错解：在同一坐标。
