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1、 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数由方程确定,则_. (2) 函数在点处的梯度_. (3) 设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_. (4) 微分方程的通解为_. (5) 设,其中则矩阵的秩 _. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括
2、号内.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当时,函数的极限 ( ) (A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为 (D) 不存在但不为 (2) 级数(常数) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 在曲线的所有切线中,与平面平行的切线 ( ) (A) 只有 1 条 (B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在 (4) 设,则使存在的最高阶数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (5)
3、 要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为 ( ) ( )yy xcos()0 x yexydydx222ln()uxyz(1,2, 2)MMgradu21, 0,( )1, 00,xxxf xex 31(2)f xdx323xyyye323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy222zaxy( )0fx(0)0f120,0 xx1212()()()f xxf xf xFyzzxxyijk2222221xyzabc( , , )M , , FWW123、234、全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 16 页 (1) 能否由线性表出？证明你的结论. (2)
4、能否由线性表出？证明你的结论. 九九、( (本本题题满满分分 7 7 分分) ) 设 3 阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为 ,又向量, (1) 将用线性表出. (2) 求(为自然数). 十十、填填空空题题( (本本题题满满分分 6 6 分分, ,每每小小题题 3 3 分分. .) ) (1) 已知,则事件、 全不发生的概率为_. (2) 设随机变量服从参数为 1 的指数分布,则数学期望_. 十十一一、( (本本题题满满分分 6 6 分分) ) 设随机变量与独立,服从正态分布,服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中 ). 1 19 99 92 2 年年全
5、全国国硕硕士士研研究究生生入入学学统统一一考考试试数数学学一一试试题题解解析析 一一、填填空空题题( (本本题题共共 5 5 个个小小题题, ,每每小小题题 3 3 分分, ,满满分分 1 15 5 分分. .) ) 123、4123、A1231,2,31231111 ,2 ,3149 123 123, nAn1( )( )( )4P AP BP C()0P AB 1()()16P ACP BCABCX2()XE XeXYX2( ,)N Y, ZXY( )x221( )2txxedt全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 16 页 (1)【答案】 【解析】函数是一个隐函数,即它
6、是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对求导,将看做的函数,得.解出,即 . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . 2.两函数乘积的求导公式： . (2)【答案】 【解析】对函数求各个分量的偏导数,有 ；. 由函数的梯度(向量)的定义,有 , 所以 . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . (3)【答案】 【解析】是区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于 sin()sin()x yx yeyxyexxy( )yy xxyx(1)si
7、n()()0 x yeyxy xyyysin()sin()x yx ydyeyxyydxexxy ( )ug xx( )yf x( )ug x( )yf g xx( )( )dyf ug xdxdydy dudxdu dx( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x21,2, 29u2222uxxxyz2222uyyxyz2222uzzxyz2221,2 ,2 ,2uuugraduxyzxyzxyz222122,4, 41,2, 212( 2)9Mgradu ( )ug xx( )yf x( )ug x( )yf g xx( )( )dyf ug xdxdydy du
8、dxdu dx212x, x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 16 页 . 【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件： 函数在区间上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且 (4)【答案】为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于,方程两边同乘,得 . 故通解为为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第 行与第行的比为),所以中的二阶子式全为 0,又因,知道,中有一阶子式非零.故. 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所有的阶子式全为零时,则此矩阵的
9、秩为. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】 对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限22111 (0)(0) 1 1222ff ( )f x, l l( )f x, l l01(cossin)2nnnannaxbxll ( ), (, )( )1(0)(0) , (, )( )21(0)(0) , .2f xxl lf xf xf xxl lf xflf lxl 若为的连续点,若为的第一类间断点,若coscos ,yxxCx Ctan1|cos|xdxe
10、x1cosx111coscosyyxCxx 积分coscos ,yxxCx CAijijaaA0,0iiab1 10ab A( )1r A r1r r0 x0 xx0 xx全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 16 页 是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的. , , ,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D). (2)【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小, , 又因为级数：当时收敛；当时发散. 所以有 收敛. 收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：注：对于正项级数,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方
11、法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B 【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的 值. 求曲线上的点,使该点处的切向量与平面的法向量垂直,即可以让切线与平面平行. 曲线在任意点处的切向量,即 ,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C) 【解析】 因处处任意阶可导,只需考查,它是分段函数,是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有 0 x11211111limlim(1)01xxxxxexex11211111limlim(1)1xxxxxexex 0 1x 2111 cos()2n
12、nn 22( 1) (1 cos)1 cos()2nnnnn p11pnn1p 1p 22112nn1( 1) (1 cos)nnn 1nnana1npt24xyz1,2,1n 2( ),( ),( )1, 2 ,3x ty tz ttt0nn 31 430tt11,3tt33x2|( )xxx0 x 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 16 页 对分段函数在对应区间上求微分, 再考查在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. , 即 同理可得 ,即 . 对于有 所以在不可导,不存在,应选(C). (5)【答案】(A) 【解析】,向量对应的分量不成比例
13、,所以,是两个线性无关的解,故.由知. 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下: 对矩阵按列分块,有,则的向量形式为 那么, 有非零解 线性相关 三三、( (本本题题共共 3 3 小小题题, ,每每小小题题 5 5 分分, ,满满分分 1 15 5 分分. .) ) (1)【解析】由等价无穷小有时, 原式=, 33,0,( ), 0,xxxxx223,0,( )3, 0,xxxxx( )x0 x 30(0)()0 xx30(0)()0(0)0 xx 223,0,( )3, 0.xxxxx6 ,0,(
14、 )6 , 0,x xxxx (0)06 ,0( )6|6 , 0 x xxxxxyx(0)1,(0)1.yy yx0 x (0)12120Ax ( )2nr A3n ( )1r A 0Ax A12nA, 0Ax 11220nnxxx.0Ax 12n, 12nr,n r An.0 x 2221111()22xxx20021 sin1 sinlimlim1112xxxxexexxx 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 16 页 上式为“” 型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式. (2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏
15、导数,重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求. 由复合函数求导法则得 , . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数存在,且有 ； . (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算. 令,则当时,；当时,于是 四、(本题满分 6 分.)四、(本题满分 6 分.) 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程 有两个根为,而非齐次项为单000
16、00cossinlimlim1xxxxexexx洛必达洛必达1 011zx()zyx221212(sin )()sin2xxzfeyfxyfeyfxxxx212(sin2 )xzf eyfxx yy 111212122(cos2 )sincos(cos2 )2xxxxf eyfy eyf eyf eyfyx21112221sincos2( sincos )4cosxxxfeyyfeyyxyfxyfey( , ),( , )ux y vx y( , )x yxy( , )zf u v( , )u v( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y12zzuzvuvffxuxv xxx 12zzuzvuvffyuyv yyy 2xt.dxdt1x 1t 3x 1t 310121110(2)( )1tf xdxf t dttdte dt分段01301171.33tttee223(1)(3)0rrrr11,r 23r 2,3xer 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 16 页 特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解,代入方程可得,故所求通解为,其中为常数. 【相关
