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1、 2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1）0ln(1)lim1 cosxxxx 2. 【分析】 本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 002ln(1)limlim211 cos2xxxxx xxx. （2） 微分方程(1)yxyx 的通解是e (0).xyCxx 【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 d11 dyxyx， 两边积分得 1lnlnyxxC ，整理得 exyCx.（1eCC
2、 ） （3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则 d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y2. 【分析】 本题不是封闭曲面， 首先想到加一曲面1：2211zxy， 取上侧， 使1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 设1：221(1)zxy，取上侧，则 d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y 11d d2 d d3(1)d dd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx yx y zy z xzx y. 而 1d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y211006d6ddd
3、2rVvr rz， 1dd2dd3 (1 ) dd0 xyzyzxzxy. 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 14 页所以 d d2 d d3(1)d d2x y zy z xzx y. （4）点(2,1,0)到平面3450 xyz的距离d 2. 【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 000222AxByCzDdABC 进行计算即可. 其中000(,)xy z为点的坐标，0AxByCzD为平面方程. 【详解】 2223241502345d . （5）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则 B 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为AXBXABAXB
4、C或或的形式， 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 ()2B AEE 于是有 4B AE，而1121 1AE，所以2B . （ 6 ） 设 随 机 变 量XY与相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间0,3上 的 均 匀 分 布 ， 则max,1PX Y 19 . 【分析】 利用XY与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，XY与具有相同的概率密度 1,3( )30,xf x0其他. 则 max,11,1PX YP XY 11P XP Y 2120111d39P Xx. 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 14 页 【评注】 本题属几何概型，也
5、可如下计算，如下图： 则 1max,11,19SPX YP XYS阴. 二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为( )f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x ，则 (A) 0dyy . (B) 0dyy . (C) d0yy . (D) d0yy . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由( )0,( )0fxfx知，函数( )f x单调增加，曲线
6、( )yf x凹向，作函数( )yf x的图形如右图所示，显然当0 x 时， 00d()d()0yyfxxfxx ，故应选(). （8）设( , )f x y为连续函数，则1400d( cos , sin ) df rrr r等于 （）22120d( , )dxxxf x yy. （B）221200d( , )dxxf x yy. (C) 22120d( , )dyyyf x yx. (D) 221200d( , )dyyf x yx . 【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则 全国硕士研究生入
7、学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 14 页 原式22120d( , )dyyyf x yx. 故选（）. （9）若级数1nna收敛，则级数 (A) 1nna收敛 . （B）1( 1)nnna收敛. (C) 11nnna a收敛. (D) 112nnnaa收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选(). 或利用排除法： 取1( 1)nnan ，则可排除选项（） ， （） ； 取1( 1)nnan ，则可排除选项（）.故（）项正确. （10）设( , )( , )f x yx y与均为可微函数，且( ,
8、 )0yx y，已知00(,)xy是( , )f x y在约束条件( , )0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (B) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. 【分析】 利用拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y在000(,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】 作拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x yf x y
9、x y， 并记对应00,xy的参数的值为0，则 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 14 页 000000(,)0(,)0 xyFxyFxy， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyfxyxyfxyxy . 消去0，得 00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为( , )0yx y） ， 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.故选（）. （11）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,
10、s 线性相关，则12,sAAA线性相关. (B) 若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关. (C) 若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关. (D) 若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关. C 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,)sB ，则12(,)sAAAAB. 所以，若向量组12,s 线性相关，则( )r Bs，从而()( )r ABr Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选(). （12）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记11001000
11、1P，则 （）1CP AP. （）1CPAP. （）TCP AP. （）TCPAP. 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 14 页 110110110110010,010010010001001001001BACBA， 而 1110010001P，则有1CPAP.故应选（）. （13）设,A B为随机事件，且( )0, (|)1P BP A B，则必有 (A) ()()P ABP A (B) ()( )P ABP B (C) ()( )P ABP A (D) ()( )P ABP B
12、 B 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ()(|)1( )P ABP A BP B，即()( )P ABP A. 又 ()( )( )()( )P ABP AP BP ABP A. 故应选(). （14）设随机变量X服从正态分布211(,)N ，Y服从正态分布222(,)N ，且 1211P XP Y 则必有 (A) 12 (B) 12 (C) 12 (D) 12 D 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得 12112211XYPP， 则 12112121 ，即1211 . 其中( )x是标准正态分布的分布函数. 又( )
13、x是单调不减函数，则1211，即12. 故选(A). 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 14 页三 、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 设区域22( , )1,0Dx y xyx， 计算二重积分221d d .1Dxyx yxy 【分析】 由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解】 积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称， 函数221( , )1f x yxy是变量y的偶函数， 函数22(
14、 , )1xyg x yxy是变量y的奇函数. 则 112222220011ln2d d2d d2dd1112DDrx yx yrxyxyr22d d01Dxyx yxy， 故 22222211ln2d dd dd d1112DDDxyxyx yx yx yxyxyxy. （16） （本题满分 12 分） 设数列 nx满足110,sin(1,2,)nnxxx n （）证明limnnx存在，并求该极限； （）计算211limnxnnnxx. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果. 【详解】 （）因为10 x，则210
15、sin1xx . 可推得 10sin1,1,2,nnxxn ，则数列 nx有界. 于是 1sin1nnnnxxxx， （因当0sinxxx时，） ， 则有1nnxx， 可见数列 nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在. 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 14 页设limnnxl， 在1s i nnnxx两边令n， 得 sinll， 解得0l ， 即l i m0nnx. （） 因 22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx，由（）知该极限为1型， 令ntx，则,0nt，而 222sin111111sin1000sinsinsinli
16、mlim 11lim11tttttttttttttttt， 又 23300001sinsincos1sin1lim1limlimlim366tttttttttttttt . （利用了sin x的麦克劳林展开式） 故 2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx. （17） （本题满分 12 分） 将函数2( )2xf xxx展成x的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2( )2(2)(1)21xxABf xxxxxxx， 比较两边系数可得21,33AB ，即121111( )3 213112f xxxxx. 而 01( 1),( 1,1)1nnnxxx ，01,( 2,2)212nnxxx ， 故120001111( )( 1)( 1),( 1,1)23232nnnnnnnnnnxf xxxxxxx . （18） （本题满分 12 分） 设函数( )f u在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式 22220zzxy. 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 14 页（I）验证( )( )0f ufuu； （II）若(1)
