2018年考研数学（一）真题及答案解析

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1、 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. 1.下列函数中不可导的是（下列函数中不可导的是（ ） 。） 。 A. ( )sin()f xxx B.( )sin()f xxx C.( )cosf xx D.( )cos()f xx 【答案】D 【解析】 【解析】 A 可导：

2、-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0 xxxxxxxxxxxxffxxxx B 可导： -0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0 xxxxxxxxxxxxffxxxx C 可导： 22-000011cos-1cos-1220limlim0,0limlim0 xxxxxxxxffxxxx D 不可导： -0000-11-cos-1cos-111220limlim,0limlim-2200 xxxxxxxxffxxxxff 2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22zxy相切的平面方程为 A. 0z 与1xyz B. 0z 与222x

3、yz C. yx与1xyz D. yx与222xyz 【答案】B 【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故 C、D 排除， 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 14 页 22(2 ,2 , 1),(1,0,0)2 (1)20(0,1,0)zxyxyx XyYZxy曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故 由此，取特殊值；令 x=1,则法向量为(2,2, 1)，故 B 选项正确。 3. 023( 1)(21)!nnnn A.sin1 cos1 B.2sin1 cos1 C.2sin1 2cos1 D.3sin1 2cos1 【答案】B. 【解析】

4、 210202210023121 !2312!1113121 !2!sin3coscos2sin2311cos12sin121 !nnnnnnnnnnnnnnnS xxnnSxxnxxnnxxxS xxxxnSn 4. .2222222211,1cos,1xxxMdx Ndx Kx dxxe则,M N K大小关系为 A.MNK B.MKN C.KMN D.KNM 【答案】C 【解析】 222222(1)11,1cos1,22( )1,(0)0,( )10,( )0;,0( )0221-,( )01NM,C22xxxxMdxdxxxxKMf xxeffxexfxxfxxxf xe 时，所以令当时

5、，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 14 页 5. 下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为 A. 111011001 B. 101011001 C. 111010001 D. 101010001 【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令110011001Q，特征值为 1,1,1，2r EQ 选项 A：令111011001A，A的特征值为 1,1,1，0110012000r EAr 选项 B：令101011001B，B的特征值为 1,1,1，0010011000r EBr 选项 C：令111010001C，C的特征值为 1,

6、1,1，0110001000r ECr 选项 B：令101010001D，D的特征值为 1,1,1，0010001000r EDr 若矩阵Q与J相似，则矩阵EQ与EJ相似，从而r EQr EJ，故选（A） 方法二：定义法（利用初等矩阵的性质） 令110010001P，1110010001P，1110111011011001001PP 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 14 页 所以110111011011001001与相似，故选（A） 6.设,A B为n阶矩阵，记()r X为矩阵X的秩，()X Y表示分块矩阵，则 A.()( ).r A ABr A B.()( ).r A

7、 BAr A C.()max ( )( ).r A Br Ar B， D.()().TTr A Br AB 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质，( , )( ,) ( , )( )r E Bnr A ABr A E Br A,故 A 正确. 若0001A ,B1110，则1100BA，所以0011()2,1100r A BAr ( )1.r A 排除 B. 12001200A ,B,2,1,1,00340034C.r ABrr Ar B若那么所以 排除 若1000A ,B0010， 则1001()10000TTr ABr，,TTAr A BrB 100020100r所以排除 D. 7.

8、设( )f x为某分布的概率密度函数，(1)(1)fxfx， 200.6f x dx ，则0P X A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A. 【解析】特殊值法：由已知可将( )f x看成随机变量21,XN的概率密度，根据正态分布的对称性，00.2P X 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 14 页 8. 给定总体2( ,)XN ，2已知，给定样本12,nX XX，对总体均值进行检验，令0010:,:HH，则 A. 若显著性水0.05时拒绝0H，则0.01时也拒绝0H B. 若显著性水0.05时接受0H，则0.01时拒绝0H C. 若显著性水0.05时拒绝

9、0H，则0.01时接受0H D. 若显著性水0.05时接受0H，则0.01时也接受0H 【答案】D 【解析】当0.05时，拒绝域为2zz，即 0.0251zz 当0.01时，接受域为2zz，即 0.0052zz （1）包含（2） ，所以选项 D 正确. 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. 9. 1sin01tanlim1tankxxxex()，则k _. 【答案】2k . 【解析】 1sin000001tanln()1tan1tanlimlimexp,1tansin1tan2ta

10、nln()2tan21tan1tanlim1limlim1sin(1tan )2.kxxxxxxxxxexkxxxxxxkxkxkxxkk () 10.设函数 fx具有 2 阶连续导数，若曲线( )yf x过点(0,0)且与曲线2xy 在点(1,2)处相切，则10( )xfx dx _. 【答案】2ln22 【解析】 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 14 页 111110000(0)0,(1)2,(1)2 ln22ln21( )( )( )( )(1)( )02ln2(1)(0)2ln22xxfffxfx dxxdfxxfxxfx dxfxfx dxff 11.设( ,

11、 , )F x y zxyiyz jzxk.则(1,1,0)rotF_. 【答案】(1,0, 1)或ik 【解析】令,Pxy Qyz Rxz 则,(0,0,0)( ,)RQPRQProtFyzxyzxyzzxxy 故(1,1,0)rotFik 12.曲线S由2221xyz与0 xyz相交而成，求xyds _. 【答案】3. 【解析】 222222222211()201121()().22363xyzxyxyxyzxydsxydsdsxyzdsds 13.二阶矩阵 A 有两个不同特征值，12, 是 A 的线性无关的特征向量，且满足21212()()A，则A _. 【答案】1 【解析】222221

12、212112212+=+=+=+AAA 从而2211221+1=0 12, 无关，221210,1=0 12121,1,1,1或，1A 14. 设 随 机 事 件A与B相 互 独 立 ， A与C相 互 独 立 ，=BC， 若全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 14 页 11( )( ), ()24P AP BP AC ABC，则( )P C _. 【答案】14 【解析】 ,14P ACABCP ABCACP ABCP ACP ABCP AC ABCP ABCP ABCP ABP CP ABCBCABCP ABCP ACP ABCP A P CP ABP CP ABCP A

13、P BP C从而 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分） 求不定积分2arctan1xxeedx 【答案】32211(tan1(1)1)23xxxxe arceeeC 【解析】 2222223221arctan1211(arctan1)211211(arctan1)2211=(arctan1)22111=(arctan111)23xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxedeeeeedxeeeeedxe

14、eeedeeeeeeC 原式 对于21xxxedee ,令21,1xxet et ，则 323211(1)(1)13321xxxxxedetdtttCeeCe 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 14 页 故原式32211(tan1(1)1)23xxxxe arceeeC 16.（本题满分 10 分）一根绳长 2m 截成三段，分别折成圆、三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值. 【答案】 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2432,0,0,0 xyzxyz 令2223, ,=24324f x y zxyzxyz

15、 2223, ,=24324220240330224320f x y zxyzxyzfxxfyyfzzxyz 求解上述方程得到，驻点为11,2,2 3+4+3 3 最小面积为，222min1232 31=4+4+3 3+4+3 3+4+3 3+4+3 3S. 17.（本题满分 10 分） 221 33xyz取正面，求33xdydzyz dxdzz dxdy. 【答案】1445. 【解析】221 33xyz，即222331xyz 33,Px Qyz Rz，设221331:0yzx，方向指向x轴负半轴， 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 14 页 133222()()2414

16、(1 33)694545PQRxdydzyz dxdzz dxdydxdydzxyzyz dxdydzdxdydzy dxdydz 高斯公式 又133()0 xdydzyz dxdzz dxdy，所以原式111445 . 18. （本题满分 10 分） 微分方程 yyfx （1）当 f xx时，求微分方程的通解 （2）当 fx为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数 【答案】 【解析】 （1）()(1).dxdxxyyxyexedxCxCe （2）( )( )xxy xee f x dx,由于()( )f xTf x，则 ()()()( ).x Tx Txxy xTeef xT dxee f x dx得证。 19. （本题满分 10 分） 数列 11,0,1,nnxxnnxxx ee证明 nx收敛，并求limnnx 【答案】lim0.nnx 【解析】 (1) 有界性：有界性：由11nnxxnx ee有1111lnnnnxxxnnneeexxx 则1211lnxexx,设 1 xf xex. 100 xfxex,且 00f fx单调递增,故 0f x，即10 xex