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1、中考数学“折叠”问题分析平顶山市第二十七中学高国普2019年4月中考数学“折叠”问题分析一、近年来河南中考数学题中“折叠” 考查内容年份题目位置考查内容20073题(3分)借助折叠(轴对称) 对应角相等配合内角和180求角度20085题(3分)坐标系下的轴对称，借助关于x轴、y轴、原点对称求坐标200914题(3分)折叠背景下的最值问题：以动手操作为背景，求折叠后的对应点可移动的最大距离，对分析转化、画图能力有要求较高作201022题(10分)类比探究问题，以矩形背景下的折叠，借助折叠的常见套路，求两边的比例关系20119题(3分)坐标系下的轴对称，借助关于y轴的点坐标对称求反比例函数表达式2
2、01215题(3分)以30直角三角形的折叠为背景，考查Rt存在性，涉及画图、分类等能力的考查201315题(3分)以矩形的折叠为背景，考查Rt存在性，涉及画图、分类等能力的考查201415题(3分)以矩形的折叠为背景，考查特殊点的存在性，涉及画图、分类等能力的考查23题（3）(4分)以抛物线为背景，考查特殊点的存在性，涉及画图、分类，对特征转化分析要求较高201515题(3分)以正方形的折叠为背景，考查等腰存在性，涉及画图、分类及验证取舍201615题(3分)以矩形的折叠为背景，考查特殊点的存在性，涉及画图、分类201715题(3分)以等腰直角三角形的折叠为背景，考查Rt存在性，涉及画图、分类
3、201815题(3分)直角三角形折叠、考查Rt存在性，结合中点、涉及画图、分类直接考查折叠的性质（全等变换）；与点坐标、角度结合，借助折叠（轴对称）的性质转移边、角，一般作为选择、填空题中的简单题、中等题进行考查。在考查折叠的性质同时，对折叠作图提出了要求；结合起来考查，以特殊、正方形、矩形的折叠为背景，考查学生分类作图、分析转化、设计方案求解的能力，一般作为填空题中的小压轴出现。将折叠作为背景放在综合问题中进行考查，侧重考查折叠特征的理解以及常见相关的常见组合搭配、套路等二、轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等（2）对称轴性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分； 对称
4、轴上的点到对应点的距离相等。（3）组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、 两次折叠常出现直角，60角； 折叠会出现圆弧等（4） 作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形。三、15题基本解题步骤：1研究背景图形：求解边、角；表达式、坐标（尤其注意特殊角）2组合特征、辨识结构： 先考虑折叠，根据折叠的思考层次尝试分析；然后从存在性问题出发，考虑不变特征以及需要满足的条件因素；两者组合进行分析.3依据特征分类，作图4求解、验证应用举例如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A的对应点为A，且BC=3，则BN=_，AM=_ ，MN
5、=_.4、 直角思考层次：1.边：勾股定理2.角：互余（常多个直角配合进行角的传递）3.面积：看作高（考虑等积公式）4.常见组合搭配直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半)直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）直角+角平分线（等腰三角形三线合一）直角三角形斜边上的高（母子型相似）弦图结构三等角模型斜直角放正十字模型5.函数背景下：6.圆背景下：90圆周角直径注：常由顶点移动的90直角考虑该顶点所在的圆应用举例直角结构固定用法“斜直角放正”一线三等角 如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上若BF= ，则小正方形的周长为 。应用举例【
6、2016年第15题】如图，已知ADBC，ABBC，AB=3点E为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N当点B为线段MN的三等分点时，BE的长为_(2016郑州二模)已知一个矩形纸片OABC，OA=6，点P为AB边上一点，AP=2，将OAP沿OP折叠，点A落在点A处，延长PA交边OC与点D，经过点P再次折叠纸片，使点B落在边OC上的点D处，则AB的长为_【2017年第15题】如图，在RtABC中，A=90，AB=AC，BC= ，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上若M
7、BC为直角三角形，则BM的长为_【2018T15】如图，MAN=90，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，ABC与ABC关于BC所在直线对称D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F，连接AE当AEF为直角三角形时，AB的长为_五、折叠作图1、对称轴确定：直接作点的对称点、连线即可2、对称轴不确定： 分析对应点、作对应点连线的垂直平分线对称轴过定点、常作弧找交点对称轴不过定点、从分析定点开始应用举例：【2014河南】如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在ABC的平分线上时，DE的长为
8、_【2016许昌一模、2015绥化、说明与检测】如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，点P在线段AB上任意一点(不含端点A，B) 若将PBC沿PC折叠，使点B的对应点B落在矩形ABCD对角线上时，BP的长为_课标指向、全国中考出题趋势作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征,分析转化，补全图形折叠作图涉及的几种类型1.最值问题和最小、差最大、天桥问题、折叠求最值问题等2.依据性质和不变特征，分析转化作图题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕；题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，
9、再作垂直平分线找折痕折叠求最值结构特征：折痕过定点，线段BA长度不变思路：求AC最小，转化为BA+AC最小应用举例如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_【2016鄂州、2017说明与检测模拟试题六】如图，菱形ABCD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，CQ的长为_折叠问题常见的计算方案折叠问题的难点一般不在于几何推理证明，而在于数形结合、量化计算；设未知数、转移表达、列方程这一套连
10、续动作往往是解决问题突破口和方向；折叠问题是初中数学训练量化计算非常重要的载体，因为折叠过程中产生了各种各样的等量关系、不变特征、组合搭配，挖掘这些隐含条件是几何的魅力所在。量化计算必备的几个工具：1.设未知数、转移表达、列方程当遇到题目中有多个等量关系，而所求目标不易直接求解时，可以考虑这一套连续动作，设小表大，等量关系要么用来表达、转移，要么用在最后建等式。2.勾股定理3.特殊角、相似、三角函数在解三角形方面三者等价4.“十字结构”：矩形中两条相互垂直的线，常给图形带来全等或相似，可以传递边长和角度；十字结构的常见图形及结论总结：初中几何中求线段的一般方法：数据标图上，（边审题边在图上做标
11、记，树形结合）关系细思量，（联想点边、角、图形间的关系）相似全等想一想，（相似三角形、全等三角形图形）三角勾股求线长。（三角函数、勾股定理求线段的长）近几年河南中考数学题之折叠问题1.2007T3如图，与关于直线对称，则的度数为（ ）ABCD2.2008T5如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是【 】ABCD3.2009T14动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q
12、分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 .4.2010T22（1）操作发现如图，矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部小明将延长交于点，认为，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若，求的值（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若，求的值5.2011T9 已知点在反比例函数的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，则k的值为 .6.2012T15 如图，在RtABC中，ACB=90, B=30,BC=3.点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DEBC交AB于点E,将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上点F处，当AEF为直
13、角三角形时，BD的长为_.7.2013T15如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为_.8.2014T15如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D 落在ABC的角平分线上时，DE的长为 . 9.2014T23如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(5，0）两点，直线y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D. 点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5EF，求m的值；（3）若点E是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E 落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.10.2015T15 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B 处，若CDB 恰为等腰三角形，则DB 的长为 .
