《2022年2022年高次方程及解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年高次方程及解法（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高次方程及解法江苏省通州高级中学徐嘉伟一般地, 我们把次数大于 2 的整式方程, 叫做高次方程； 由两个或两个以上高次方程组成的方程组, 叫做高次方程组； 对于一元五次以上的高次方程, 为不能用简洁的算术方法来求解的； 对于一元五次以下的高次方程,也只能对其中的一些特殊形式的方程,采纳“ 1判根法”.“常数项约数法” .“倒数方程求根法” .“双二次方程及推广形式求解法” 等方法, 将一元五次以下的高次方程消元.换元.降次,转化成一次或二次方程求解；一.1 判根法在一个一元高次方程中, 假如各项系数之和等于零, 就 1 为方程的根；假如偶次项系数之和等于奇次项
2、系数之和,就 -1为方程的根；求出方程的1 的根后,将原高次方程用长除法或因式分解法分别除 以（ x-1 ）或者（x+1 ）、降低方程次数后依次求根； “1判根法”为解一元高次方程最简捷. 最快速的重要方法, 肯定要娴熟把握运用；例 1解方程 x 4 +2x 3 -9x 2 -2x+8=0解：观看方程 、由于各项系数之和为 :1+2-9-2+8=0 留意:肯定把常数项算在偶数项系数当中 、 依据歌诀“系和零 、+1 根”、即原方程中可分解出因式 x-1、x 4 +2x 3 -9x 2-2x+8x-1= x3+3x 2 -6x-8观看方程 x 3+3x2 -6x-8=0,偶次项系数之和为： 3-
3、8=-5；奇次项系数之和为： 1-6=-5,依据歌诀“偶等奇,根-1 ”,即方程中含有因式（ x+1 ）, （ x 3 +3x 2 -6x-8）x+1=x2 +2x-8,对一元二次方程x 2 +2x-8=0有（ x+4）（ x-2 ） =0、原高次方程 x 4 +2x 3 -9x 2-2x+8=0可分解因式为： x-1x+1x-2x+4=0、即:当x-1=0时、有 x 1 =1; 当x+1时,有 x 2 =-1; 当x-2=0时,有 x 3 =2;当x+4=0时,有 x 4 =-4点拨提示 ：在运用“1 判根法” 解高次方程时, 肯定留意把 “常精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数
4、项”作为“偶次项”系数运算；二.常数项约数求根法依据定理 :“假如整系数多项式an x n an-1 x n-1 +a 1 x+a 0 可分解出因式 Px- Q 、即方程 a n x n a n-1 xn-1 +a 1x+a 0 =0有有理数根 QP（. Q为互质整数）,那么,肯定为首项系数a n 的约数, Q肯定为常数项a0 的约数”,我们用“常数项约数” 很快找到求解方程的简捷方法；“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型 ：首项系数为 1 ；对首项（最高次数项）系数为1 的高次方程,直接列出常数项全部约数,代入原方程逐一验算,使方程 值为零的约数,就为方程的根；依次用原方程除以带根的
5、因式,逐次 降次,直至将高次方程降为二次或一次方程求解；例 1解方程 x 4 +2x 3 -4x 2 -5x-6=0解： 第一步 ：第一列出“常数项” -6的全部约数1 .2 .3 .6其次步 ：将这些约数逐一代入原方程验算,确定原方程中所含的“带根” 因式；依据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和,排除1根,f2=16+16-16-10-6=0f-3=81-54-36+15-6=0、所以原方程中含有因式（x-2 ）（ x+3 ）第三步 ：用长除法将原方程降次； （x 4 +2x 3-4x 2-5x-6）x-2x+3= x2 +x+1第四步 ：解一元二次方程x 2+x+1=0精品学
6、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x=bb 24ac1=2a12411213i2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 1 =13i 、2x 2 =13i 、2x 3=2x4 = -3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次种类型 ,首项系数不为 1；对首项系数不为的高次方程,第一以首项系数为“公因数”提取到小括号外,然后对小括号内的方程的常数项列出公约数； 特殊留意此时代入方程验算的值肯定为Q 而P不为,由于此时原方程的因式为（x ）,其余的解法步骤同精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载首项系数为的解法步骤相同；例解方程 x 3 - x 2 x -6 精品
7、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：将原方程化为（ x 3 -2 x 2 x- ）此时,“常数3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项”为 -2 ,它的约数为1,2,依据“1判根法”排除1 ,这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,代人原方程验算的只能为Q = 2 ,或 P3Q = -2 P3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2f =33322223333223388222727=30=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以原方程中有因式（3 X -2 ）；（ 3x 3- x2 x -6 ）3x -2= x2 +3精品学习资料精选学习资
8、料 - - - 欢迎下载解方程式 x 2+3=0x=3i,x1 =23i, x 2=-3i22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原方程的解为 x 1 =三.倒数方程求根法3i,x 2 =23i , x 3=223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.定义： 系数成首尾等距离的对称形式的方程,叫做倒数方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a x 4 +bx3 +cx 2+dx+e=0、其中, ae、 bd 或者 a= -e、b= -d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.性质 ：倒数方程有三条重要性质：（ 1）倒数方程没有零根；精品学习资料精
9、选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）假如 a 为方程的根,就1 也为方程的根； a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）奇数次倒数方程必有一个根为-1或者 1 ,分解出因式 x+1或x-1后降低一个次数后的方程仍为倒数方程；3.倒数方程求解方法 ：假如 a x 4 +bx3+cx 2 +dx+e=0为倒数方程,由于倒数方程没有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载零根,即 x0、 所以,方程两边同除以 x 2 得：ax 2 +1+bx+2x1 +e=0、x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 x+1 =y、x2 +x1 =y 2 -2、 即原方程变为：x
10、 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ay 2 +by+e-2a=0、解得 y 值,再由 x+例 1解方程 2 x 4 +3x 3-16x2+3x+2=01 =y ,解得 x 的值；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 ：x 20方 程 两 边 同 除 以x 2得 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x 2 +3x-16+32x +x 2=0、即2 （ x2 +1） +3（ x+x 21） -16=0、x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 （x+1） 2 -2+3（ x+x1 ） -16=0、令 x+x1 =y、代入方程整理x精品学习资料精
11、选学习资料 - - - 欢迎下载得： 2y2 +3y-20=0、解之得： y 1 =-4、y 2=52即 x+1x=-4、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2 +1=-4x、x2 +4x+1=0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x=bb 24ac4=2a424211 =412 =24232=-23 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 1 = -2+3 、x 2 = -2 -3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又x+1=52x 2+2=5x、2x 2 -5x+2=0x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x-1x-2=0x 3
12、 =1 、x 4 =221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经检验知 x 1= -2+3 、x2 = -2-3 ,x 3 =的根；、x 4=2都为原方程2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2解方程 6x 5 - 4 x 4 -3x 3 +3x2 -4x -6=0解：观看该方程首尾等距离对应项系数互为相反数,且最高次幂项数为奇数,有根x=1、 方程两边同除以因式（x-1 ）得：6x 4 +10x3+7x2 +10x+6=0,方程两边同除以x 2 并整理得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6x21x2y1+10x1x555、 y2670 、令 y=1x55
13、56x得 6 y 2方程x+10 y1x505556无实数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： x1 x5556得： x2 、355555510121055556464精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经检验知：x11、 x2为原方程的实数根；12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评讲析 ：例 1 .例 2 这些倒数方程的特点为首尾等距离对应项系数相等,用一般表达式表述为ax 4 +bx3+cx 2 +dx+e=0、其中a=e、b=d、或者 a= -e、b= -d对首尾对应项系数相等的方程,我们一眼就能发觉为“倒数方程” ,两边同除以 x 2 、化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解；但有些方程,首尾等距
