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1、一、初等矩阵,二、等价矩阵,4.6 初等矩阵,三、用初等变换求矩阵的逆,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.,定义,一、初等矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵:,(换法矩阵),(倍法矩阵),以数 乘单位矩阵的第期 i 行 得初等矩阵,(消法矩阵),1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.,初等矩阵的性质,: 对换 的 两行；,: 对换 的 两列,：用非零数 乘 的第 行；,：用非零数 乘 的第 列,： 的第 行乘以 加到第 行 ;,： 的第 列乘以 加到第 列,引理 2 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s
2、级初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.,的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.,二、初等矩阵的性质,引理 2 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次,初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初,等矩阵;,对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A,证明,我们只看行变换的情形，列变换的情,形可同样证明.,令 B = ( bij ) 为任意一个 s s 矩阵,A1 , A2 , , As 为 A 的行向量.,由矩阵的分块乘法,特别，令 B = P( i , j ) , 得,这相当于把 A 的 i 行,与 j 行互换.,令 B =
3、P( i (c) ) , 得,这相当于用 c 乘 A 的第 i 行.,令 B = P( i , j(k) ) , 得,这相当于把 A 的 j,行的 k 倍加到 i 行.,若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的（也称A与B相抵）,矩阵的等价关系具有：,反身性、对称性、传递性.,等价矩阵的秩相等,二、等价矩阵,定义,注：,4. 矩阵与其标准形的关系,定理 5 任意一个 s n 矩阵 A 都与它的标准,形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于,矩阵 A 的秩 ( 1 的个数可以是零) .,证明,如果 A = O，那么它已经是标准形了.,以下无妨假设 A O .,经过初等变换，
4、A 一定可以,变成一左上角元素不为零的矩阵.,当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的,( i = 2, 3, , s ) 倍，其余的列减去第一列的,( j = 2, 3, , s ) 倍.,就变成,A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.,对 A1 再重复以,上的步骤.,这样下去就可得出所要的标准形.,显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1,的个数.,而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个,数也就是矩阵 A 的秩.,证毕,注： 1）任意一个矩阵，用初等变换都可以把它,化为标准形.,根据引理2，对一矩阵作初等变换相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因此，,2) 矩
5、阵A、B等价,3) n 级方阵A可逆,即,4) n 级方阵A可逆,定理6,推论1,两个 矩阵A、B等价,由此得定理5的另一种叙述：,对任一 矩阵A，存在可逆矩阵 , 使,，其中 ,推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行,变换化成单位矩阵.,证明,设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存,在初等矩阵 Q1 , Q2 , , Qm 使,A = Q1 Q2 Qm ,把它改写一个，有,Qm-1 Qm -1-1 Q1-1A = E .,因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩,阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变,换，所以结论得证.,证毕,三、利用初等变换求逆阵,原理:,解,例,即,初等行变换,例,解,思考题,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,
