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1、. .（一）函数的单调性知识梳理1函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,xD,当xx时，都有f(x) f(x)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间当x f(x)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间2函数单调性的判断方法：（1） 从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。（2） 一般地，设函数的定义域为如果对于属于定义域某个区间上的任意两个自变量的值，且，则（1）在区间上是增函数；（2）在区间上是减函数如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区
2、间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做的单调区间单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设若外两函数的单调性一样，则在x的区间D单调递增，若外两函数的单调性相反时，则在x的区间D单调递减（同增异减）3常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)0（或0）且为增函数，则函数在其定义域为减函数题型一、单调性的判断例、写出下列函数的单调区间（1） （2）， （3） 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以与在每一单调区间上， 它是增函数还
3、是减函数？题型二、用定义法证明单调性例、定义法证明函数y=2x+3在的单调性.例、判断函数f（x）在（0,1）上的单调性变式训练1证明函数在上是增函数方法技巧根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。题型三、单调性的运用例、已知在R上是增函数,则k的取值围例、函数在上是减函数,则求a的取值围变式训练2已知函数上是单调函数，的取值围是变式训练3函数f（x）是R上的减函数,求f（a2a1）与f（）的大小关系 题型四、抽象函数的单调性与其应用例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)f(1-2m)，则m的取值围是例、设f（x）定义在R+上，对于任意a、bR+，有f（ab）f（a）
4、f（b）求证：（1）f（1）0；（2）f（ ）f（x）；（3）若x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（1，+）上是减函数题型五、复合函数的单调性例、求函数的单调递减区间。求f(x)=的单调区间课后作业：一、选择题1、函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)2、当 时，函数 的值有正也有负，则实数a的取值围是（ ）A B C D3、若函数在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数 在区间（a，c）上（ ）A. 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D. 无法确定增减性二、填
5、空题4、函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则f(1)=_5、已知 在定义域是减函数，且 ，在其定义域判断下列函数的单调性：(为常数)是_； (为常数)是_； 是_； 是_6、函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值围是_7、若函数f(x)则f(x)的递减区间是_三、解答题8、讨论函数在(-2,2)的单调性。9、设f(x)是定义在(0,+）上的增函数，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)2 的x的取值围.（二）函数的奇偶性知识梳理1、函数奇偶性定义：1、 一般地，如果对于函数的定义域任意一个，都有，那么就称函数为偶函
6、数.偶函数图象关于轴对称.2、 一般地，如果对于函数的定义域任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0或f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数（2）函数是奇
7、函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间有一样的单调性；偶函数在对称的单调区间有相反的单调性4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若是定义域中的一个数值，则也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。（2）若奇函数在处有定义，则。（3）为偶函数
8、，为奇函数。（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域某个区间而言的，是局部性质。题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题例、判断下列函数的奇偶性。 , , 方法技巧判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。变式训练4函数是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数变式训练5若函数是偶函数，则有 ( )A. B. C. D.变式训练6设函数，且则等于（ ）A
9、.-3 B.3 C.-5 D.5题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式例、（1）已知偶函数的定义域是，当时，求的解析式.（2）已知奇函数的定义域是R，当时，求的解析式.变式训练7已知是定义在R上的奇函数，且当时，求的解析式。题型三、抽象函数的奇偶性的判断例、设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数变式训练8设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.题型四
10、、有关函数奇偶性的综合问题例、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 （ ）A、 B、C、 D、例、已知函数是定义在上的偶函数，则，例、设函数对任意，都有，求证是奇函数；变式训练9设f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c是常数)且,则f（7）= 若y（m1）x22mx3是偶函数，则m _已知函数f(x)是奇函数数m的值；(三)函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f
11、(x)的最小正周期例、设是上的奇函数，当时，求的值。例、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 ()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)变式训练设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)函数f(x)的单调区间课后作业1函数f(x)=4x2mx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于（ ）A7 B1C17D252已
12、知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间a，b（ ）A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根3已知函数f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2 )，那么函数g(x)（ ） A在区间(1，0)上是减函数 B在区间(0，1)上是减函数 C在区间(2，0)上是增函数 D在区间(0，2)上是增函数4. 若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（ ）A BC D5 下列函数中为偶函数的是（ ） ABCD6. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）A B C D7.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是 （ ）A BC D8若函数是奇函数，则的值为_ . 9已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为 10. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3) ； (4) ；
