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1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载第 5 讲 找规律 一这一讲我们先介绍什么为 “数列” ,然后讲如何发觉和查找 “数列”的规律；按肯定次序排列的一列数就叫数列；例如,11 ,2,3,4,5, 6,21 ,2,4,8,16,32；31 ,0,0,1,0, 0, 1,41 ,1,2,3,5, 8, 13；一个数列中从左至右的第n 个数,称为这个数列的第n 项；如,数列 1 的第 3 项为 3,数列2 的第 3 项为 4；一般地,我们将数列的第n 项记作 an；数列中的数可以为有限多个,如数列24,也可以为无限多个,如数列13；很多数列中的数为按肯定规律排列的,我们这一讲就为讲如何
2、发觉这些规律；数列1 为根据自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律为：后项 =前项+1,或第 n 项 ann；数列2 的规律为：后项 =前项 2,或第 n 项数列3 的规律为：“ 1,0,0”周而复始地显现；数列4 的规律为：从第三项起,每项等于它前面两项的和,即a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+35,a6=3+5=8,a7=5+8=13；常见的较简洁的数列规律有这样几类：第一类为数列各项只与它的项数有关,或只与它的前一项有关；例如数列12；其次类为前后几项为一组,以组为单元找关系才可找到规律；例如数列34；第三类为数列本身要与其他数列对比才能发觉其规律；这类情形稍为
3、复杂些,我们用后面的例3.例 4 来作一些说明；例 1 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 4,7,10,13, ,2 84,72, 60, , ；3 2,6,18, , ,4 625, 125,25, , ；5 1,4,9,16, ,6 2,6,12,20, , ,解： 通过对已知的几个数的前后两项的观看.分析,可发觉(1) 的规律为：前项 +3=后项；所以应填16；(2) 的规律为：前项 -12= 后项；所以应填48,36；(3) 的规律为：前项 3=后项；所以应填54,162；(4) 的规律为：前项 5=后项；所以应填5, 1；(5) 的规律为：数列各项依次为1=11
4、, 4=2 2, 9=3 3, 16=4 4,所以应填 55=25；(6) 的规律为：数列各项依次为2=12,6=23,12=34,20=45,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载所以,应填 5 6=30, 6 7=42；说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关,因此an 可以用 n 来表示；各数列的第n 项分别可以表示为1 an 3n +1；2 an96-12n；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 an-15-n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 2 3； 4 an 5； 5 an n ；6 an nn+1 ；精品学习资料精选学习资
5、料 - - - 欢迎下载这样表示的好处在于,假如求第100 项等于几,那么不用一项一项地运算,直接就可以算出来,比如数列1 的第 100 项等于 3 100+1=301；本例中,数列24只有 5 项,当然没有必要运算大于5 的项数了；例 2 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 1,2,2,3,3,4, , ； 2 , ,10,5,12,6,14, 7； 33 ,7,10, 17,27, ；41 ,2,2,4,8, 32, ；解： 通过对各数列已知的几个数的观看分析可得其规律；(1) 把数列每两项分为一组,1, 2, 2, 3, 3, 4,不难发觉其规律为：前一组每个数加 1
6、 得到后一组数,所以应填4,5；(2) 把后面已知的六个数分成三组：10,5,12,6,14,7,每组中两数的商都为 2,且由 5,6,7 的次序知,应填8, 4；(3) 这个数列的规律为：前面两项的和等于后面一项,故应填 17+27=44 ；(4) 这个数列的规律为：前面两项的乘积等于后面一项,故应填8 32=256；例 3 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 18,20, 24,30, ；2 11,12, 14,18, 26, ；3 2,5,11,23,47, , ；解： 1 因 20-18=2,24-20=4,30-24=6,说明 后项- 前项 组成一新数列 2,4,
7、 6,其规律为“依次加2”,由于 6 后面为 8,所以, a5-a 4=a5-30=8,故a5=8+30=38；2 12-11=1,14-12=2, 18-14=4 , 26-18=8 ,组成一新数列 1,2,4,8,按此规律, 8 后面为 16；因此, a6-a 5a6-26=16,故 a616+26=42；3 观看数列前.后项的关系,后项=前项 2+1,所以 a6=2a5+1247+1 95, a72a6+1 295+1=191；例 4 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 12,15, 17,30, 22 ,45, , ；22 ,8,5,6,8, 4, , ；解： 1
8、数列的第 1,3,5, 项组成一个新数列 12,17, 22 , 其规律为“依次加 5”, 22 后面的项就为 27；数列的第 2, 4, 6, 项组成一个新数列 15, 30,45, 其规律为“依次加 15”, 45 后面的项就为 60；故应填 27,60；2 如1 分析,由奇数项组成的新数列2,5,8,中, 8 后面的数应为 11；由偶数项组成的新数列8,6,4,中, 4 后面的数应为 2；故应填 11,2；练习 5按其规律在以下各数列的 内填数；1.56 ,49, 42,35, ；2.11 , 15 , 19 , 23 , ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载
9、3.3 ,6,12,24, ；4.2 ,3,5,9,17, ,5.1 ,3,4,7,11, ；6.1 ,3,7,13, 21, ；7.3 ,5,3,10, 3, 15, , ；8.8 ,3,9,4,10, 5, , ；9.2 ,5,10,17,26, ；10.15 , 21,18, 19,21,17, , ；11. 数列 1, 3, 5, 7, 11,13,15, 17；(1) 假如其中缺少一个数,那么这个数为几？应补在何处？(2) 假如其中多了一个数,那么这个数为几？为什么？答案与提示练习 51.28 ；2.27 ；3.48 ；4.33 ；提示：“后项 - 前项”依次为 1, 2, 4 ,8
10、,16,5.18 ；提示：后项等于前两项之和；6.31 ；提示：“后项 - 前项”依次为 2, 4,6,8,10；7.3 ,20；8.11 ,6；n9.37 ； 提示： a =n2+1；10. 24,15；提示：奇数项为15, 18,21, 24；偶数项为 21,19,17, 15；11. 1 缺 9,在 7 与 11 之间； 2 多 15,由于除 15 以外都不为合数；第 6 讲 找规律 二这一讲主要介绍如何发觉和查找图形.数表的变化规律；例 1 观看以下图形的变化规律,并根据这个规律将第四个图形补充完整；分析与解： 观看前三个图,从左至右,黑点数依次为4,3,2 个,并且每个图形依次按逆时
11、针方向旋转90,所以第四个图如右图所示；观看图形的变化,主要从各图形的外形.方向.数量.大小及各组成部分的相对位置入手,从中找出变化规律；例 2 在以下各组图形中查找规律,并按此规律在“？”处填上合适的数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载解： 1 观看前两个图形中的数可知,大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半,故第三个图形中的“？” =5 3 8 2=60；第四个图形中的“？” =21 2 3 2=7；2 观看前两个图形中的已知数,发觉有10=8+5-3, 8=7+4-3 ,即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就为中间小圆圈内的数；故第三个图形中的“？”
12、 =12+1-5=8；第四个图形中的“？” =7+1-5=3；例 3 查找规律填数：解： 1 考察上.下两数的差； 32-16=16, 31-15=16,33-17=16,可知,上面那个“？” =35-16=19,下面那个“？” =18+16=34；2 从左至右,一上一下地看,由1, 3, 5,？, 9,知, 12 下面的“？” =7；一下一上看,由6, 8, 10,12,？,知, 9 下面的“？” =14；例 4 查找规律在空格内填数：解： 1 由于前两图中的三个数满意：256=4 64,72=612,所以,第三图中空格应填1215=180；第四图中空格应填169 13=13；第五图中空格应
13、填2247=32；2 图中下面一行的数都为上一行对应数的3 倍,故 43 下面应填 433=129；87上面应填 873=29；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 5 在以下表格中查找规律,并求出“？”：解：1 观看每行中两边的数与中间的数的关系,发觉 3+8=11,4+2=6,所以,？=5+7=12；2 观看每列中三数的关系,发觉1+32=7,7+22=11,所以,？ =4+52=14；例 6 查找规律填数：12解： 1 观看其规律知2 观看其规律知：观看比较图形. 图表.数列的变化, 并能从图形. 数量间的关系中发觉规律,这种才能对于同学们今后的学习将大有好处；练习 6查找规律填数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载6. 下图中第 50 个图形为仍为？答案与提示练习 61.5 ；提示：中间数 =两腰数之和底边数；2.45 ；1；提示：中间数 = 四周三数之和 3；3.
