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1、. .三角形综合例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AOOD，BOOC，EOOF求证：AEBDFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PFDC，PEBC求证：APEF例题3：ABC的高AD与BE相交于H，且BHAC求证：BCHABC例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，PAQ45求证：PQPBDQ例题5：过ABC的顶点A分别作两底角B和C的角平分线的垂线，ADBD于D，AECE于E求证：EDBC例题6：如图，P是等边三角形ABC部的一点，PA2，PB，PC4， 求ABC的边长.例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足APD APB =。且B
2、 P C CPD ，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 画一个半等角点P，且满足。( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。例题8：已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；（2）如图2，若点O在ABC的部，求证：ABAC；（3）若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示。练习试题：1如图，在
3、中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列四个结论：；以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；设则；不能成为的中位线其中正确的结论是_（把你认为正确结论的序号都填上）2如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，、和分别表示DNC、DAC、DBC的面积。当AB CD时，有 (1)（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，、和有何种相等关系？试证明你的结论。3如图，设ABC和CDE都是正三角形，且EBD62o，则AEB的度数是 （A）124o（B）122o（C）120o（D）118o4如图，ABC是
4、等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN60.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.5如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB_6如图所示，在ABC中，ABAC，ADAE，则_7（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.8两
5、个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：9如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）BADACD BADCAD，ABBDACCD ABBDACCD参考答案例题1、证明：OAEODF，因为：二边与夹角（对等角）相等，得：AE=DF。同理证得：OBEOCF，OABOCD，得：EB=CF，AB=CD。因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。所以：AEBDFC例2
6、 F于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于NP为正方形ABCD对角线BD上任一点PM=PF,PN=PE又AMPN为矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90PEFANPNAP = PFE又NPA=FPG(对顶角) NAP +NPA=90PFE+FPG=90PGF=180-(PFE+FPG)=90APEF例3 BHAC，BDHADC90，HBDCAD（这个知道的吧）BDHADCHDCD，BD=ADHDC与ABD是等腰直角三角形BCHABD=45例4：在CB的延长线上取点G，使BGDQ，连接AG正方形ABCDABAD，BADABGD90BGDQABGADQ （SAS）AQAG，BAGDAQ
7、PAQ45BAP+DAQBAD-PAQ45PAGBAP+BAGBAP+DAQ45PAGPAQAPAPAPQAPG （SAS）PQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6例7（1） 根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点因为在图形部，所以不能是AC的端点，又由于，所以不是AC的中点（2）画点B关于AC的对称点B，延长DB交AC于点P，点P为所求（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意AP1D=AP1B，DP1C=BP1CAP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明DP1P
8、2BP1P2而，那么P1DP2和P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以DPA=BPA，DPC=BPC即点P是四边形的半等角点解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）（2）画点B关于AC的对称点B，延长DB交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，AP1D=AP1B，DP1C=BP1C，AP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上（9分）在DP1P2和BP1P2中，DP2P1
9、=BP2P1，DP1P2=BP1P2，P1P2公共，DP1P2BP1P2（11分）所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得DPA=BPA，DPC=BPC，所以点P是四边形的半等角点例8证明：（1）过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFCB=C，从而AB=AC。（2）过点O分别作OEAB，OFAC，EF分别是垂足，由题意知，OE=OF。在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFE。 OBE=OCF， B=OC知OBC=O
10、CB，ABC=ACD， AB=AC。（3）解：不一定成立。注：当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，ABAC，如示例图练习13解：等边ABC、等边CDE AC=BC，CE=CD，BACABCACB=ECD=60ACE=ACB-BCE，BCD=ECD-BCEBCD=ACEACEBCD （SAS）CBD=CAEEBD62CBDEBD-CBD62-CBECAE62-CBEBAEBAC-CAE60-62+CBE-2+CBEABE+BAE60-CBE-2+CBE58AEB180-（ABE+BAE）1224CNBM MN证明：延长AC至M1，使CM1BM，连结DM1 由已知条
11、件知：ABCACB60，DBCDCB30ABDACD90 BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC，而 DMDM1 MDM1（120MDB）M1DC120 又MDN60M1DNMDN60MDNM1DN MNNM1NCCM1CNBM即CNBM MN5（1）证明：APB=BPC=CPA，三角之和是360APB=BPC=120PAB+PBA=180-120=60 ABC=PBC+PBA=60PAB=PBCPABPBCAPB=BPC，PAB=PBC（2）解：PABPBCPA/PB =PB/PC推出PB=PAPC=68=48PB=48=436设EDC=x, B=C=yAED=EDC+C=x+y又
12、因为AD=AE, 所以ADE=AED=x+y则ADC=ADE+EDC=2x+y又因为ADC=B+BAD所以 2x+y=y+30解得x=15所以EDC的度数是15度71）如图3，OCD和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，OD=OC=OB=OA，1=2=60，4=5又4+5=2=60，4=30同理6=30AEB=4+6，AEB=60（2）如图4，OCD和ABO都是等边三角形，OD=OC，OB=OA，1=2=60又OD=OA，OD=OB，OA=OC，4=5，6=7DOB=1+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180，6+7+AOC=180，25=26，5=6又AEB=8-5，8=2+6，AEB=2+5-5=2，AEB=608可以找出BAECAD，条件是AB=AC，DA=EA，BAE=DAC=90+CAE由可得出DCA=ABC=45，则BCD=90，所以DCBE解答：解：ABC，DAE是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，B
