《2022年高三毕业班数学常考变式演练19数列的递推式与求和 （原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三毕业班数学常考变式演练19数列的递推式与求和 （原卷版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题19 数列的递推式与求和专题导航目录常考点01 定义法（公式法）求数列通项1常考点02 累加法与累乘法求数列通项4常考点03 构造法求数列通项7常考点04 公式法、分组转化法求和9常考点05 裂项相消法求和14常考点06 错位相减法求和18常考点07 数列与函数的综合23常考点08 数列与不等式的综合29易错点01 运用公式“anSnSn1”不当致误34易错点02 裂项求和剩余项出错34易错点03 忽略为奇数或偶数35易错点04 混淆数列与函数的区别35专项训练 （全卷共22题）36专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点归纳常考点01 定义法（公式法）求数列通项【典例1】（1）
2、（2021新疆高三）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式；（2）（2021浙江高三）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，nN*，则数列an的通项公式。【典例2】（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【技巧点拨】1.Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解2.利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易
3、忽视验证n1致误【变式演练1】（2021广东）已知数列的前项和为，满足，求数列的通项公式。【变式演练2】（2021全国高三）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。【变式演练3】（2021浙江高三）已知数列的前项和为，求数列的通项公式；常考点02 累加法与累乘法求数列通项【典例1】（1）（2021浙江高三）已知数列满足，则数列的通项公式（2）（2021河北高三）在数列中，则数列的通项公式【典例2】（1）（2020河南高三月考）已知数列的首项为，且满，求的通项公式；（2）（2021江苏高三）已知，则数列的通项公式。【技巧点拨】（1）累加法：；（2）累乘法：【变式演练1】（2021
4、浙江）设数列满足，则数列的通项公式【变式演练2】（2021东莞市东方明珠学校）在数列中，且，则它的前项和（ ）ABCD【变式演练3】（2021辽宁高三）数列满足：，求的通项公式；常考点03 构造法求数列通项【典例1】（1）（2021全国高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式（2）（2021重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式【典例2】（2021上海上外附中）若数列满足，且，则数列的通项公式为_.【技巧点拨】构造法递推式的通项，主要构造为等差或等比数列求解即可。具体构造常用待定系数法构造、倒数数列、取对数等。待定系数法：（其中均为常数，也可以是常数）取倒数法：（其中为常数）
5、取对数法：【变式演练1】（2021湖北黄冈市）在数列中，若且，求数列的通项公式【变式演练2】（2021湖北高三期中）已知数列满足数列的通项公式【变式演练3】（2021辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，求数列的通项公式；常考点04 公式法、分组转化法求和【典例1】（2021北京高三二模）已知数列的前项和为， 从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列满足，求数列的前项和.条件：；条件：；条件：.【典例2】（2019天津）设是等差数列，是等比数列.已知.（）求和的通项公式；（）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【技巧点拨】1公式法：如
6、果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和3分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.4
7、倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的5并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解【变式演练1】（2021全国高三二模）已知等差数列和正项等比数列满足：，且是和的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【变式演练2】（2021全国高三其他模拟）设数列的前项和为，且，_，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和；【变式演练3】（2021宁波市北仑中学
8、高三模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为.常考点05 裂项相消法求和【典例1】（2021广东高三模拟）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【典例2】（2021全国高三其他模拟（理）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【技巧点拨】1裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）
9、的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.2.需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，；（2），特别地当时，；（3）（4）（5）【变式演练1】（2021山东滕州市高三3月模拟）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.【变式演练2】（2019浙江高考真题）设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【变式演练3】（2021重庆一中高三模拟）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.常考点06 错位相减法求和【典例1】（2021福建厦门市高三模拟）在，点在直线上，这三个条件
10、中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，_.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【典例2】（2021四川高三月考（理）在正项等比数列中，且，是等差数列的前三项（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【技巧点拨】1.错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于
11、1两种情况求解2错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ，则两式错位相减并整理即得.【变式演练1】（2021陕西高三模拟）数列前n项和，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【变式演练2】（2021新安县高三模拟（理）已知数列前项和是，且（1）设，证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和【变式演练3】（2021山东高三模拟）在，是公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答问题：在递增的等差数列中，为
12、数列的前项和，已知，_，数列是首项为2，公比为2的等比数列，设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分常考点07 数列与函数的综合【典例1】（2021浙江高三第一次联考）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）A B C D【典例2】（2021浙江高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，（1）求数列的通项公式（2）规定：表示不超过的最大整数，如，若，记 求的值，并指出相应的取值范围【技巧点拨】数列与函数的综合问题主要有以下两类：知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类
13、问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形【变式演练1】（2019浙江高考真题）设，数列中， ,则（ ）A当 B当 C当 D当【变式演练2】（2021中央民族大学附属中学高三三模）已知函数，其中，定义数列如下：，（1）当时，求的值；（2）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得.【变式演练3】（2021沙坪坝区高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.常考点08 数列与不等式的综合【典例1】（2021浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）ABCD【典例2】（2021宁波中学高三其他模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求证：.【技巧点拨】1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”放缩法常见的放缩技巧有：(1).(2). (3)2()2()2.数列中不等式恒成立的问题:数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解【变式演练1】（2018
