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1、第五章 大数定律和中心极限定理(简介)第一节 大数定律定义5.1 (依概率收敛)（教材p145） 设 是一个随机变量序列，是随机变量或常数。若对任何 0，都有就称 依概率收敛于，记为 。P定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛) 若P( )=1，则称 以概率1收敛于，或称几乎处处收敛于，记为 。a.s.2021/6/71PP定理5.1 设 g(x，y)在(a，b)处连续，则P定义5.3(依分布收敛) 设 和的分布函数分别为 和F(x)，若则称 弱收敛于F(x)，记为 。称 依分布收敛于，记为 。WL定理5.2 (几种收敛之间的关系)1. 若 ，则 。2. 设为常数，则 当且仅当 。3. 若
2、，则 。PLa.s.PPL2021/6/72定义5.4 (独立随机变量序列) 设 是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随机变量 都相互独立，则称 为独立随机变量序列(简称 相互独立)。定理5.3 (切比雪夫大数定律)（教材p144） 设 相互独立，且令P定理5.4 (辛钦大数定律)（教材p147） 设 相互独立，且服从相同分布，令P说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。2021/6/732. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146） 设A在n重贝努利试验中发生 次，p=P
3、(A)，则对任何0，有说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。例1(2003年数学三考研试题填空题) 设总体X服从参数为2的指数分布， 为来自总体X的简单随机样本，则当n时，依概率收敛于 。2021/6/74第二节 中心极限定理定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg)( 独立同分布中心极限定理) （教材p147）设随机变量 相互独立且服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： 则随机变量 即 的分布函数 对任何x满足L2021/6/75推论( 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150 ） 设 B(n，p) (0p10
4、5的近似值解E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近似服从正态分布N(0,1),由莱维中心极限定理2021/6/714例3 对敌人的防御地段进行100次炮击, 在每次炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为1.5, 求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)由莱维中心极限定理2021/6/716有180颗到220颗炮弹命中目标的概率例4 某工厂有200台同类型
5、的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99.解 (1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数， 则 X B(200,0.75) .由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有2021/6/718(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.2021/6/719查标准正态函数分布表，得(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则2021/6/720部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
