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1、蠕虫爬橡皮绳问题的数学模型比较及意义摘要：关于蠕虫爬橡皮绳的问题，不同学者建立了不同的数学模熨进行研究.本文建立了一个微分方 程模型，并和积分模型进行了对比，进而说明，这两个方程是等效的.因而，积分方程也是准确刻画嬌虫 爬行运动的模型嫡虫爬橡皮绳的模型实质上也是一个消费模型，在经济社会中冇着重要的现实意义.关键词：蠕虫悖论 积分模型 微分方程模型比较 消费模型“蠕虫悖论”最初出现在科学美国人编辑部编著的从惊讶到思考一一数学悖论奇 景一书中，原名是“蠕虫与橡皮绳悖论”.在王树禾编苦的数学聊斋一书中，称之为“蠕虫悖论”,具体内容如下:一条蠕虫在橡皮绳的-端.橡皮绳长一公里.蠕虫以每秒1丿里米的稳定
2、速度沿橡皮绳爬 行.在1秒钟Z后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里.再过一秒钟后，它又拉长为3 公里，如此下去.蠕虫敲后究竟会不会达到终点呢？在文【1】中，笔者对这个问题进行了推广，并建立了一个积分模型，对蠕虫爬橡皮绳 的过程进行了描述.但是，有的专家认为：(1)“在积分模型中，作者假定在每个代表区间中 橡皮细的运动对蠕虫的运动没冇影响，计人费解”.笔者对这个问题又进行了深入的研究，从 微分方程的角度又建立了一个数学模型，并和积分模型进行了对比，进而说明，这两个方程 是等效的.因而，积分方程也是准确刻画蠕虫爬行运动的模型.为了比较研究，这里把文【1】的模型建立过程再给以简述(这里讨论的是蠕虫爬
3、橡皮 绳问题的推广)：问题 有一条长生不老的蠕虫从/(I)米长的橡皮绳一端，以。(/)米/秒(函数值d(O)v/(O), aat-V) 0)的匀速爬向另一端，而橡皮绳却不断伸长，在第/秒橡皮 绳从/(/ 1)米均匀的伸长到/米(/(/)/(r-l)0, rG0,n).如此下去，这条蠕 虫会不会爬到橡皮绳的另一端？1 蠕虫爬橡皮绳的积分模型这里就推广后的问题进行讨论.设橡皮绳的长度变化规律为I = /(r),即在f时刻，橡皮绳的长度为/(r).因为橡皮绳 的增长是均匀的，因此，在时亥ijr(lr0.在这个时间间隔 k里,nJ以认为橡皮绳的运动对蠕虫的运动没冇影响.那么蠕虫在这个时间间隔里运动的距
4、离 为ds = Q(f)df那么在第秒末，ds相应的变为把蠕虫在每一段运动的距离累加起来，就是积分S =/(讪看蠕虫能否从左端爬到右端，就是看能否成立.1.1 /(r)是等差形式设 f(t) = a +td , (dVQ), a(t) = a 是常数.这时5= dt =)f(r) )Q+rd=書 ln(Q + /d)|；=書Ing +nd)-lna= 4ln/(H)-ln/(0)a即当-In/(/z)-ln/(O)llhf,蠕虫从橡皮绳的一端爬到另一端.1. 2/是等比形式设 f(t) = cid，(avq), a(t) = a 是常数这时dt%即当(1-g)n 1时，蠕虫从橡皮绳的一端爬到另
5、一端. ax nq2.蠕虫爬橡皮绳的微分方程模型这里仍就推广后的问题进行讨论.如图，设橡皮绳的最初长度为q,左端点为0, 右端点为A ,橡皮绳均匀伸长.假设在时刻f, 4点 移动的速度为b(r),橡皮绳的长度为W),蠕虫爬行的速度为a(f),此时蠕虫爬行到了点、B ,设B点到0点的距离为x = x(t),由于橡皮绳 均匀伸长，所以，点B的移动速度为 %,那么蠕虫爬行的实际速度为U = Q(/) +如兀.而兀是蠕虫爬行的距离，因此，根据导数的力学意义可知，V = /,即 M)# =曲)+竺1兀/(/)这就是蠕虫爬行的运动满足的微分方程.这是一个一阶线性微分方程，根据一阶线性微分方程的求解公式町得
6、蠕虫爬行的运动方程(2)x = eif(,)初始条件为：r = 0时，x = 0.在(2)式中,旳)是人点移动的速度，/是A点到。点的距离，山导数的运动学意(3)义可知,广= b(t),于是有b(t)dt=df(t)把(3)式代入(2)式得Cdf(t) _ fdf(t)x(t) = e17 ja(t)e，7dt + C(4)dt + Cl蠕虫能否从橡皮绳左端爬到右端，就是看x/(r)即(其中C由“/ = 0时，x = 0确定)(5)是否冇解.这个结论与(1)式是极为相似的。下面就针对积分模型里的两种情形进行 対比.2- 1 f是等差形式设 f(t) = a +td , (aVd), a(t)
7、= a .这时由(4)式可得x = (a+ dt) ln(d+dr) + C由初始条件：f = 0时，兀=0,可得C = -lnr于是d兀=(a】+ dt)纟ln(q + dt) - In a假设第秒，蠕虫爬到了橡皮绳的另一端，这时有x = (! +d)一ln(d| +dz?)-ln tzj (a +dn)即 手ln(Q + dn) - In a, 1这与积分模型的结果是一样的.2. 2/是等比形式设/(/) = %“，(GVd|), a(t) = a .山(4)式可得由初始条n-： t=o时，x=o,可得c=,于是Ingx = -(q -1)Inq假设第”秒，蠕虫爬到了橡皮绳的另一端，这时有
8、x = qn -Y)axqnIn 7即斗(i一广)nia】lnq这与积分模型计算的结果也是一样的.由(5)式及以上的对比来看，以上两个模型是等效的，笫一个模型是利用微元法从积 分的角度考虑问题；第二个模型是从微分的角度考虑问题，最后的结果殊途同归.相对來说, 积分模型显得更直观、简洁，并口计算也方便.|佃微分方程模型的结果就显得比鮫繁琐，求 解过程也比较繁琐，并且结果也不是很直观.3.模型的意义社会的总财富量/(/)的增长一般是按增长率的模式來描述的，因此，社会的总财富的增 氏类似橡皮筋的仲长平均伸氏.蠕虫爬橡皮绳的模型实质上就是现实生活中的消费模 型.社会的总的资源和财富就相当于伸长的橡皮绳，蠕虫的爬行就相当于社会的总消费.社 会能正常运行多长吋间？根据文【1】的结果，就是看不等式型力1的解.其中f(f) /(/)是社会的总财富量，Q(r)是社会的总消费屋.由前面讨论知道，社会财富增长速度%)二广当消费速度(蠕虫爬行的速度)等于社会财富总量的增长速度时，即时，社会经济处于平衡状态.当兀汀时，社会财富在逐年减少，这时就要调整消费速度和社会财富的增长速度，使消费和增 长处于新的平衡状态，否则，社会就可能走向崩溃.参考文献：【1】陈玉发.蠕虫爬橡皮绳的数学模型J北京教育学院学报.2012第7卷笫4期.2侯风波高等数学M.北京:高等教育出版社，2003.8.
