《立体几何与空间向量8_7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直试题理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何与空间向量8_7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直试题理北师大版（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章立体几何与空间向量8.7 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直试题理北师大版基础知识自主学习1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a, b是平面a内两不共线向量，n为平面an ? a= 0, 向量，则求法向量的方程组为n ? b= 0.2 ?用向量证明空间中的平行关系（1）设直线l 1和I 2的方向向量分别为V1和V2，则I 1 / I 2（或l 1与I 2重合）？V1 / V2.设直线I的方向向量为V, 与平面a共面的两个不共线向量V1和V2, 贝y I /a或存在两个实数x,
2、y，使V = XV1+ yV2.3 ?用向量证明空间中的垂直关系【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“ X” ）（1）直线的方向向量是唯一确定的. （X ）（2）平面的单位法向量是唯一确定的. （X ）（3）若两平面的法向量平行，则两平面平行.（“）知识梳理的法设直线I的方向向量为V, 平面a的法向量为U, 则I / a或Ia ? V 丄U. 设平面a和B的法向量分别为U1, U2，贝y a / 3 ? U1 / U2.（1）设直线I 1和I 2的方向向量分别为V1 和V2，贝U I 1 丄I 2? V1 丄V2? V1 ? V2= 0. 设直线I的方向向量为V, 平面a的法
3、向量为U, 则I丄a ? V / U.设平面a和3的法向量分别为U1 和U2,U a 丄3U1 丄U2? U1 ? U2 = 0. （4）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 . （V ）若a / b, 则a所在直线与b所在直线平行 .（X ）（6）若空间向量a平行于平面a，则a所在直线与平面a平行.（X ）1 . 考点自测已知A(1,0,0) ,B（0,1,0） , Q0,0,1 ），则下列向量是平面ABC法向量的是（A. (1,1,1) B. C. D. (1 , 1,1) (丄I 3 33 , 乖, 3V3 v,￥)答案解析n= (x. y, z）为平面ABC的法向量 , n ? X
4、B= 0, 则n ? XC= 0, 化简得x + y= 0, x + z= 0, ? x = y= z.故选 C.2 . 直线1的方向向量a= (1 , 3,5), 平面a的法向量A. l / aB. l 丄aC. l 与a斜交D. la或1 /a答案 B解析 由a=n知，n / a ,则有1 la,故选B.3 . 平面a的法向量为（1,2 , 2）, 平面3的法向量为于（）A. 2B. 4C. 4D. 2答案 C解析 ?/ a/3 , ?两平面法向量平行, 2 4 k1 = 2 = 2, k= 4.n= ( 1,3(2, 4, 4 . （教材改编）设U, V分别是平面a , , 5），则有（
5、k)，若a / 3，则k等a与3的位置关系为解析当v= (3 , 2,2)时, 3的法向量，u= ( 2,2,5)，当v = (3 , 2,2)时, ; 当V = (4 , 4, 10)时，a 与3的位置关系为U ? V= ( 2,2,5) ? (3 , 2,2) = 0? a 丄3 当V = （4 , 4, 一 10）时，V= 2u? a / B .5. （教材改编）如图所示，在正方体ABCABCD中，0是底面正方形ABCD勺中心，M是DD的中点，N是AB的中点，则直线ON AM的位置关系是 _ . 答案垂直方体棱长为 1, ? （0，, 1） = 0, 二ONW AM垂直. 题型分类深度剖
6、析题型一利用空间向量证明平行问题例 1 （2016 ?重庆模拟）如图所示，平面PADL平面ABCD ABC助正方形， PAD是直角三角形，且PA= AD= 2, E, F, G分别是线段PA PD CD的中点 . 求证：PB/平面EFG解析以A为原点 , 分别以XB AD AA所在直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，设正则A（0,0,0）, M0,1 1 , 2），1 02, XM- ON=（0,1 , 1）证明?平面PADL平面ABCD ABCD正方形， PAD是直角三角形，且PA= ADAB AP, AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) ,
7、 B(2，0,0)，C(2,2,0) ，Q0,2,0) ，RO，0,2)，E(0,0,1) ，”0,1,1)，G(1，2,0).? PB= (2,0 , - 2) , FE= (0，- 1,0) , FG= (1,1，- 1),设PB- sFfe+ tFG,即(2,0 , - 2) = s(0，- 1,0) + t(1,1，- 1),t = 2，?t s= 0, 解得s= t = 2, -1 =-2, ?PB= 2Ffe+ 2FG ?/ PB FG ? - PB/ 平面EFG 引申探究本例中条件不变，证明平面EFG/平面PBC证明?/ EF= (0,1,0) , BC= (0,2,0) ,?B
8、C= 2EF, ? BC/ EF 又? EF平面PBC BC 平面PBC ?EF/平面PBC 同理可证GF/ PC从而得出GF/平面PBC 又EFA GF= F , EF 平面EFG GF 平面EFG ?平面EFG/平面PBC 思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可?这样就把几何的证明问题转化为向量运算.跟踪训隊彳（2016 ?北京海
9、淀区模拟）正方体ABCB ABQD中，M N分别是CQ, BC的中点. 求证：MN/平面ABD以D为坐标原点，DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 . 2), DA=(1,0,1), 6B=(1,1,0).设平面ABD的法向量为n= （x, y, z）, 贝U n ? DA = 0, 且n ? DB= 0,得 取x = 1, 得y = 1, z = - 1.所以n= (1 , 1, 1). 1 1 又辰n=(2 , 0, 2)?(1 , 1, 1) = 0 , 所以MNL n. 又MN羣平面ABD所以M/ 平面ABD题型二利用空间向量证明垂直问题命题点 1 证线面垂
10、直例 2 如图所示 , 正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC-ABC的所有棱长都为2 , D为CC的中点 . 求证：AB丄平面ABD证明 方法一设平面ABD内的任意一条直线m的方向向量为m由共面向量定理，则存在证明如图所示 , 设正方体的棱长为于是MN=(2 , 0 , x+ z = 0, x+ y = 0.1, 则M0,i , , A(1,0,1) , B(1,1,0) , 实数入，1 , 使m=入BA+ BD 而AB = (1,2 , 3), 所以AB= n , 所以AB / n ,令BB = a, BC= b, BA= c, 显然它们不共面，并且|a| = |b| = |c| =
11、2, a ? b= a?c = 0, b -c=2，以它们为空间的一个基底, 则BA=a+ c, BD=1a+ b, AB= a- c, -23 4 入=0.故AB丄m结论得证 . 方法二如图所示，取BC的中点0,连接A0因为 ABC为正三角形 , 所以AOL BC 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABCL平面BCGBi, 所以A0L平面BCCB. 取BC的中点0, 以0为原点，分别以6B 00, 6A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0) , D( 1,1,0) , Ai(0,2 , 3),A(0,0 , 3) , B(1,2,0) .设平面ABD
12、的法向量为n= (x, y , z) , BA= ( 1,2 , 脸,BD= ( 2,1,0) . 因为n丄BA , n丄BD -x + 2y + 3z= 0 , 、2x+ y = 0 , 令x = 1, 则y = 2 , z= 3 , 故n= (1,2 , 腑为平面ABD的一个法向量 ,rn=入BA+ 3 BD= 入 + 2 3 a1 , ; 卩f JAB ? m= (a- c) ? ” 入 + 2 + 3 b+ 入c, a+ 3 b+ 入cn ? BA= 0 , 故 n ? D= 0故AB丄平面ABD 命题点 2 证面面垂直例 3 （2016 ?武汉模拟）如图，在四棱锥P ABC曲，底面A
13、BCDI边长为a的正方形，侧面（1）求证：EF/平面PAD 求证：平面PABL平面PDC因为PA= PD所以PC丄AD 所以POL平面ABCD 又O, F分别为AD BD的中点，所以OF/ AB 又ABCD!正方形，所以OF丄AD a 所以PAL PD OP= OA= 2- 以O为原点，OA OF OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，“aa a a a a则A(2, 0,0) , F(0 , 2, 0) , D 2, 0,0)，P(0,0 , 2)，B(-, a, 0), C 2, a,0). , a a a因为E为PC的中点，所以E 4, 2，4). 、a易知平面PAD的一
14、个法向量为OF= (0 , 2，0), _ a a因为EF= (;, 0, ;), 4 4r _ _ a a a且OF? EF= (0 , 2, 0) ?( 4, 0, 4) = 0, 所以EF/平面PAD 证明（1）如图，取AD的中点O,连接OP OF 因为侧面PADL底面ABCD平面PADT平面ABCH AD PADL底面ABCD 且PA= PD=BD的中点. 因为PA= PD=因为PA=（2, 0, 2）, CD（0，- a,0）, a a所以PA- CD=（2, 0, 2）?（0，a,0） = 0, 所以PA1 CD所以PA! CD 又PAI PD pm CD= D,所以PA!平面PD
15、C 又PA 平面PAB所以平面PABL平面PDC 思维升华证明垂直问题的方法（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 ?其中灵活建系是解题的关键. （2）其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 跟踪训练 2 （2016 ?青岛模拟）如图，在多面体ABC- A1B1G
16、中，四边形AABB是正方形，AB1 =AC BC=72AB BC綊 2BC二面角A AB- C是直二面角 . 求证：(1) AB! 平面AAC; (2) AB/平面AQC 证明(1) ?二面角A AB- C是直二面角，四边形AABB为正方形 , ? AA丄平面BAC 又? AB= AC, BC=J2AB?/ CAB= 90, 即 卩CAL AB, ? AB AC, AA两两互相垂直 .设AB= 2, 贝U A(0,0,0) , B(0,2,2) , A(0,0,2) , C(2,0,0) ,C(1,1,2) .AB = (0,2,0) , KA= (0,0 , - 2) , (2,0,0) ,设平面AAC的一个法向量n= (x, y, z), 即f= 0，取y = 1，贝U n = (0,1,0)z = 0，? ABi= 2n, 即AB/ n.?- AiBi 丄平面AAC. 易知AB= (0,2,2) , AC = (1,1,0) ,Afc= (2,0 , 2),设平面ACC的一个法向量m= (X1 , y1 , zj , X1+ y1= 0 , 即2x1 2z1= 0 , 令X1=
