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1、 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时三 用“两角一边”判定三角形全等 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业 1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标新课讲解思考先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使得AB=AB，A=A，B=B（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的ABC和ABC全等吗？画法：1、画AB=AB. 2、在AB的同旁画DAB=A
2、 EBA=B， AD，BE相交于点C. 3、ABC即为所作三角形.通过画图，你能得出什么样的结论？新课讲解如图，ABC就是所求作的三角形.将原来的ABC和ABC叠加在一起，能否完全重合？CAB结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合. 新课讲解 知识点1 全等形的判定3判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）. 符号语言表示：在ABC和ABC中， B=B， BC=BC， C=C， ABCABC（ASA）.新课讲解例 1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C.求证：AD=AE.典例分析DEBCA 解：在ACD和ABE中，
3、 A=A （公共角）， AC=AB， C=B， ACDABE（ASA）. AD=AE.新课讲解例 2 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF.典例分析 证明：在ABC和DEF中， A=D， BC=EF， B=E， ABCDEF（ASA）. ABEDCF你是不是这样证明的，错在哪里？新课讲解例 2 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF.典例分析 分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件. ABEDCF新课讲解例 如
4、图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF. 证明：在ABC和DEF中， A=D，B=E， C=180-A-B，F=180-D-E， C=F. 在ABC和DEF中， B=E， BC=EF， C=F， ABCDEF（ASA）. ABEDCF新课讲解如图，ABBC，ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.练一练 分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题意，有ABBC，ADDC，则构成ABC=ADC=90.可以选择“ASA”，需要将已知角转化成两角及其夹边，即可求证. ABCD12新课讲解如图，ABBC，
5、ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.练一练ABCD12 证明：ABBC，ADDC， ABC=ADC=90. 在ABC和ADC中，1=2，ABC=ADC， ACB=ACD. 在ABC和ADC中， 1=2， AC=AC（公共边）， ACB=ACD， ABCADC（ASA）， AB=AD.新课讲解练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ABCDFE 分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质得出对应边相等.
6、注意题目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论.新课讲解练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ABCDFE解：由题可知：ABBC，EDDC，则ABC=EDC=90.在ABC和EDC中， ABC=EDC， BC=DC， ACB=ECD， ABCEDC（ASA）. AB=ED，则DE的长就是AB的长.新课讲解练一练如下图，已知B=D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出ABCEDC.根据哪
7、个判定？CEADB（1）条件（ ），根据（ ）.（2）条件（ ），根据（ ）.AB=ED两边及其夹角分别相等的两个三角形全等ACB=ECD两角及其夹边分别相等的两个三角形全等新课讲解思考两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？在ABC和ABC中，使得AB=AB，C=C，B=B.此时的ABC和ABC全等吗？ABBACC请选用已经学过的全等三角形的判定来证明ABC和ABC全等.新课讲解已知，在ABC和ABC中，AB=AB，C=C，B=B.证明ABCABC.？ABBACC 证明：C=C，B=B， A=180-B-C， A=180-B-C， A=A. 在ABC和ABC中， A=A
8、， AB=AB， B=B，ABCABC（ASA）. 新课讲解 知识点1 全等形的判定4判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）. 符号语言表示：在ABC和ABC中， A=A， B=B， BC=BC， ABCABC（AAS）.要按照”角角边“的顺序书写.新课讲解例 1 如图，在ABC和ADC中，B=D=90，BAC=DAC. 求证：ABCADC.典例分析 解：在ABC和ADC中， B=D， BAC=DAC， AC=AC（公共边），ABCADC（AAS）.ABDC新课讲解如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？练一练分析： 利用
9、三角形全等的性质说明AB=AC. AB，AC分别在AEB和ADC中， 则需要证明AEBADC.题目中已有一边和两角相等，可以考虑选择 “ASA”或者“AAS”，将1=2转化成AEB 和ADC中相等的角即可. 1BDAE2新课讲解如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？练一练1BDAE2 证明：2是AEB的外角，AEB=180-2. 1是ADC的外角，ADC=180-1. 1=2， AEB=ADC. 在AEB和ADC中， A=A AEB=ADC， BE=CD， AEBADC（AAS）. AB=AC. 新课讲解如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形. 有
10、两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？思考思考“ASA”和“AAS”之间有什么关系？在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的. 你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？新课讲解ASA“ASA”和AAS”的区别与联系“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边把夹边相等写在两角相等的中间由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化AAS“S”是其中一角的对边把两角相等写在一起，边相等放在最后新课讲解练一练 如图，点O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.BAODC解：AOC和BOD全等，理由如
11、下：点O是AB的中点， OA=OB.在AOC和BOD中，C=D，AOC=BOD，A=B（三角形内角和定理）.在AOC和BOD中, A=B， OA=OB， AOC=BOD，AOCBOD（ASA）.新课讲解练一练 如图，点O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.BAODC解：AOC和BOD全等，理由如下：点O是AB的中点， OA=OB.在AOC和BOD中， C=D， AOC=BOD， OA=OB，AOCBOD（AAS）. 新课讲解练一练 已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB/CD，ACB=D. 求证：BC=ED.证明：AB/CD， A=ECD. 在ACB和CDE
12、中， ACB=D， A=ECD， AB=CE， ACBCDE（AAS）. BC=ED.ABECD课堂小结两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等ASA应用利用“ASA、AAS”解决实际问题分类探讨两角及其夹边分别相等两角及其中一角的对边分别相等三角形全等的判定AAS两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等对比探究对比“ASA”和“AAS”的区别和联系当堂小练如图，已知1=2，C=D.求证：AC=AD.证明：1=2，C=D， ABC=ABD （三角形内角和定理）. 在ABC和ABD中， 1=2， AB=AB（公共边）， ABC=ABD， ABCABD（ASA）. AC=AD.AB12CD当
13、堂小练如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE/AB，B=DAE.求证：ABCDAE.证明：DE/AB， CAB=EDA. 在ABC和DAE中， CAB=EDA， AB=DA， B=DAE， ABCDAE（ASA）.为你支招：有平行线就可以转化出相等的角.当堂小练如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.利用好垂直关系和余角定理
14、是解决本题的关键.当堂小练如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.3分析：CDAB， A+ACD=90. ACB=90，A+B=90. B=ACD. EFAC， FEC=90. ACB=FEC. 在ACB和FEC中，B=FCE， BC=CE， ACB=FEC，ACBFEC（ASA）. AC=EF.BC=2cm，EF=5cm. AE=3cm.当堂小练如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，A=D，AC/DF.求证：（1）ABCDEF.（2）BE=CF.证明
15、：（1）AC/DF， ACB=F. 在ABC和DEF中， ACB=F， A=D， AB=DE， ABCDEF（AAS）.ACDFBE（2）ABCDEF， BC=EF.BC-EC=EF-EC，即BE=CF.等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.D拓展与延伸如图，已知1=2，E=C，AC=AE.求证：AB=AD，B=D.1BEDA2分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等.D拓展与延伸如图，已知1=2，E=C，AC=AE.求证：AB
16、=AD，B=D.1BEDA2证明：1=2， 1+EAC=2+EAC，即BAC=DAE. 在ABC和ADE中， BAC=DAE， AC=AE， C=E， ABCADE（ASA）. AB=AD，B=D.D拓展与延伸如图，已知AD是BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”.解：（1） 添加AE=AF，证明如下： AD是BAC的平分线， EAD=FAD. 在AED和AFD中，AE=AF， EAD=FAD， AD=AD，AEDAFD（SAS）. D拓展与延伸如图，已知AD是BAC的平分线，在不添加任
17、何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.解：（2） 添加EDA=FDA ，证明如下： AD是BAC的平分线， EAD=FAD. 在AED和AFD中，EDA=FDA， AD=AD， EAD=FAD，AEDAFD（ASA）. 已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”.D拓展与延伸如图，已知AD是BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.解：（3） 添加DEA=DFA，证明如下： AD是BAC的平分线， EAD=FAD. 在AED和AFD中，DEA=DFA， EAD=FAD， AD=AD，AEDAFD（AAS）
18、. 已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“AAS”.学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。
