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1、学习必备欢迎下载第 4 章立体的投影一、本章重点：1. 平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影；2. 立体与平面相交其交线的画法，既求截交线；3. 两回转体轴线垂直相交其相贯线的画法；二、本章难点： 1圆球和圆环的投影及表面上点的投影；2. 圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法；3. 求作相贯线；三、本章要求：通过本章的学习，要把握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线；四、教学手段多媒体教学、模型、 CAD三维实体演示、习题集作业五、本章内容：4.1 基本体及其表面上的点4.1.1 平面立体及其表面取点1棱柱（1） 投影分析
2、如图 4.1 （a）所示，正三棱柱的两端面（顶面和底面）平行于水平面，后棱面平行于正面，另外两个棱面垂直于水平面；因此，三棱柱的投影特点是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形正三角形；三个棱面的水平投影积聚为三角形的三条边；（2） 表面上取点1） 棱柱表面都处于特别位置，其表面上的点可利用平面的积聚性求得；2） 求解时，留意水平投影和侧面投影的Y 值要相等；3） 点的可见性的判定，面可见，点就可见，反之不行见；a图 4.1正三棱柱及其2、 棱锥（1） 棱锥的投影a图 4.2四棱锥及其表面上点的投影1） 分析三棱锥各平面的投影；2） 作三棱锥的三面投影；（2） 棱锥表面上的点棱锥表面上点的投影
3、可在平面上作帮助线进行求解，如图4.2 ；4.1.2 回转体及其表面取点1、圆柱（1） 圆柱面的形成有一母线绕与它平行的轴线旋转而成；（2） 圆柱体的投影对圆柱体的各个投影进行分析；（3） 圆柱表面上的点如下列图，圆柱表面上点的投影，在投影面为圆的投影中，其表面上点的投影都在该圆上；留意： Y值要相等；ab图 4.3圆柱的三视图及2、圆锥（1） 圆锥面的形成有一母线绕和它相交的轴线旋转而成；（2） 圆锥的投影对圆锥的投影进行分析，如图（3） 圆锥表面上的点圆锥的三个投影都没有积聚性，因而圆锥表面上点的投影，就不能直接求得， 要采纳帮助素线和帮助圆法；1） 素线法，如图 4.5 （a）；2） 帮
4、助轧圆法：如图 4.5 （ b）；留意在画圆时，半径是从中心线到轮廓素线，而不是从中心线到点；a素线法图 4.5圆锥表面上取点3. 圆球（1） 圆球的形成球面可看成是以一圆为母线，以其直径为轴线旋转而成；（2） 圆球的投影圆球的投影是与圆球直径相同的三个圆，这三个圆分别是三个不同方向球的轮廓的素线圆投影，不能认为是球面上同一圆的三个投影；对投影图进行分析；ab图 4.6圆球的三视图（3） 圆球表面上点的投影圆球表面上点的投影，要作帮助圆，圆的半径是从中心线到轮廓线，作图时要留意；图 4.7圆球表面取点4. 圆环（1） 圆环的形成圆环可看成是以圆为母线，绕与它在同一平面上的轴线旋转而形成的；（2
5、） 圆环的投影1） 对圆环的投影进行分析；2） 如何画圆环的投影图；（3） 圆环表面上的点 利用帮助圆求点的投影；图 4.9圆环的三视图及其表面上点的投影4.2 平面与立体表面4.2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交，所得的交线是由直线组成的封闭大多边形， 该多边形的边就是平面立体表面与截平面的交线，其顶点是棱线 与截平面的交点；如图，是一三棱锥被一正垂面截切，求截交线；ab图 4.11正垂面 P 切割求平面立体的截交线，关键是找到平面与立体棱线的共有点（平面与立体的交点），然后将各点连接即为所求；4.2.2 平面与曲面立体相交平面与圆柱表面相交图 4.16平面平面与圆柱相交时，依据截
6、平面相对圆柱轴线的位置不同，其截交线有三种: 圆、椭圆和矩形，如图4.16 所示；当平面与圆柱轴线平行时，交线为矩形，如图4.16a 所示；当平面与圆柱轴线垂直时，交线为圆，如图4.16b 所示；当平面与圆柱轴线倾斜时，交线为椭圆，如图4.16c 所示；2平面与圆锥相交平面与圆锥相交的截交线，依据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，有五种情形.当平面过锥顶时，交线为三角形，如图4.18a ；当平面与圆锥轴线垂直时，交线为圆，如图4.18b ；当平面与圆锥轴线倾斜时，交线为椭圆，如图4.18c ；当平面平行于圆锥面上一条素线时，交线为抛物线加直线，如图4.18d ；当平面与圆锥轴线平行时，交线为双曲
7、线加直线，如图4.18e ；abcde图 4.18平面与圆锥相交例 4.5求作正垂面 P与轴线为侧垂线圆锥的截交线，如图4.19 所示；1 分析图 4.19 （ a）所示圆锥的轴线为侧垂线， ，其截交线是一个椭圆， 它的正面投影积聚成始终线， 而其水平投影和侧面投影就仍为椭圆；依据圆锥的投影特性可知，截交线椭圆的侧面投影全部可见，截平面与 前、后素线的交点 A、B 为截交线水平投影可见性的分界点，位于下半圆锥面上的截交线为不行见；b图 4.19求正垂面 P与圆锥的截交线3平面与圆球相交平面与圆球相交，无论平面与圆球的相对位置如何，截交线均为圆；例 4.6已知一开槽半圆球的主视图，求其水平和侧面
8、投影, 如图 4.21 所示；ab图 4.21完成开槽半球的水平投影和侧面投影分析由图 4.21a 可知，半圆球是被两个侧平面P和一个水平面 Q截切形成的；两个侧平面 P与半圆球的截交线，其侧面投影是半圆的一部分，水平投影积聚成直线；水平面 Q截球面，其水平投影是圆的一部分，侧面投影积聚成直线；两平面 P 与 Q的交线均为正垂线；留意：左视图中的半球顶部的轮廓线被切掉了；作图先画 P、Q面有积聚性的投影，再画投影为圆弧的部分，并判别可见性， 完成全图，如图 4.21b 所示 5）依此光滑连接各点的同面钭影；4.3 两回转体表面相交 相贯线两曲面立体相交，其交线是两曲面立体的共有线，该线也叫相贯
9、线，相贯线上的点是两曲面立体的共有点；4.3.1利用积聚性求相贯线1. 圆柱与圆柱相交两个回转体相交，假如其中一个回转体的轴线是垂直投影面的圆柱，就圆柱在该投影面上的投影积聚为一圆，而相贯线的投影也就重合在该圆上；利用表面上取点的方法求相贯的其它投影；例题：已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线，如图；两圆柱正交分析：两圆柱轴线垂直相交，一轴线垂直于H面，一轴线垂直于 W面， 相贯线的水平投影就是有积聚性的圆，侧面投影，是一段两圆柱重合的圆弧，因此只求正面的投影；作图： 1）求特别点，最高点和最低点；2 ）求一般点，定出水平投影面的点，再找出侧面投影上对应的点，依据正面和侧面的点找出正面投影的
10、点；3） 将各点光滑地连接起来；2. 相贯线的简化画法如图 4.24a 所示，先求出相贯线上的三个特别点1、2、3，过此三点作圆弧代替相贯线；如图 4.24b 所示，以大圆柱体的半径为半径，过1、2两个特别点作圆弧代替相贯线；作图时应当留意，圆弧的弯曲方向是向大圆柱投影内弯曲；ab图 4.24相贯线的简化画法4.3.2利用帮助平面求相贯线利用帮助平面同时截切相贯的两曲面立体，可找出两曲面立体的截交线的交点，该点即为相贯线上的点，这些点既是回转体表面上的点，又是帮助平面上的点，因此，帮助平面法就是利用三面共点原理；利用帮助平面法求相贯时，选帮助平面的原就是使帮助平面与曲面立体的截交线的投影为最简
11、洁，如直线或圆；例题：求轴线相互垂直的圆锥和圆柱的相贯线，如图；圆锥与圆柱的相贯线分析：轴线垂直相交，具有前后对称平面，因此，相贯线是一前后对称的闭合空间曲线，并且前后两部分的正面投影重合，相贯线的侧面投影重合在圆柱具有积聚性的投影圆上，要求的是相贯线的水平投影和正面投影；作图： 1）求特别点，最高点和最低点A、C 和最前点和最终点 B、D；2 ）求一般点作帮助平面 Q1V、Q2V、Q3V、，可求出一般点 E、F、G、H；3 ）判别可见性，并光滑连接各点；4.3.3相贯线的特别情形（1） 当回转体与球体相交且球心在回转体轴线上时，相贯线为垂直于轴线的圆；（2） 当回转体轴线相交，并公切于一个圆
12、球时，相贯线为两条平面曲线椭圆；（3） 当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线；（4） 当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线；图 4.27两等径圆柱正交图 4.28同轴回转体相交图 4.29具有公共内切球面的两回转体相交ab图 4.30交线为直线的两回转体六、本章小结：1. 本章开头是无投影轴投影，三面投影中，正面和水平面投影要对正， 正面和侧面投影要平齐，水平和侧面投影Y 值相等；2. 平面与立体相交，其截交线是截平面与立体表面的共有点的连线；求截交线，就是求立体表面与截平面的公共点；3. 两回转体相交，其交线相贯线一般是空间曲线，它是相交两回转体的共有线，求相贯线的方法有：表面取点法、帮助平面法和帮助球面法；我们主要把握利用表面取点法和帮助平面法求解常见的两回转体相交时的相贯线；4. 在有些特别情形下，两回转体相交的相贯线是平面曲线或直线，在绘
