《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件3 新人教A版选修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件3 新人教A版选修1（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.3四种命题间的相互关系【阅读教材】 根据下面的知识结构阅读教材，并识记四种命题间的相互关系及真假关系，并会将命题等价转化.【知识链接】1.四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题.2.判断命题真假的方法：根据已学过的数学知识，直接判断或推证或取特值否定. 主题题一：四种命题题之间间的相互关系【自主认认知】1.观观察下面四个命题题，命题题(1)与命题题(2)(3)(4)的条件和结论结论 之间间分别别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则则f(x)是周期函数.(2)若f(x)是周期函数，则则f(x)是正弦函数.(3)若f(x)不是正弦函数，则则f(x)不是周期函数.(4)若f(x)不
2、是周期函数，则则f(x)不是正弦函数.提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件，对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.2.通过问题过问题 1中的探究，你发现发现 其中任意两个命题题之间间的相互关系吗吗？你能用数学语语言描述出来吗吗？提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题.根据以上探究过程，试着写出四种命题之间的相互关系：若q,则p若p,则q若q,则p【合作探究】1
3、.判断两个命题题之间间的关系关键键看命题题的条件与结论结论 的哪方面？提示：判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否都否定了.2.一个命题题的逆命题题与否命题题是等价命题吗题吗 ？提示：可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的.3.在四种命题题中，原命题题是固定的吗吗？提示：不固定，是相对而言的.【过过关小练练】1.命题题p：“若m0，则则x2+x-m=0有实实根”，与命题题q：“若x2+x-m=0没有实实根，则则m0”的关系是()A.互逆B.互否C.互为为逆否D.互否或互为为逆否【解析】选C.因q的条件为
4、p的结论的否定，而结论为p的条件的否定.2.命题题p：“若x2+y2=0，则则x，y全为为零”，与命题题q：“若x2+y20，则则x，y不全为为零”的关系是_.【解析】由四种命题之间的关系知为互否命题.答案：互否命题主题题二：四种命题题的真假性及等价关系【自主认认知】1.主题题一自主认认知1中的四个命题题，它们们的真假性如何？提示：命题(1)为真命题，(2)是假命题，(3)是假命题，(4)是真命题.2.若命题题(1)为为原命题题，你发现发现 哪两个命题题的真假性相同？这这种关系是否对对任意的有这这种关系的两个命题题都成立？提示：原命题与逆否命题，逆命题与否命题，真假性相同.且这种关系对任意两个
5、互为逆否的命题都成立.根据以上探究过程，试着写出四种命题真假性之间的关系：1.两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性.2.两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.相同【合作探究】1.在四种命题题中，真命题题的个数可能有几个？提示：因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是0，2或4.2.当判断一个命题题的真假比较较困难时难时 可否利用其逆否命题题的真假判断？提示：因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明.【拓展延伸】等价命题题的证证法与反证证法的区别别运用逆否命题
6、题的证证法实质实质 是把命题题等价转转化，而反证证法是先假设结设结论论不成立，接着推出矛盾，从而得出假设设不成立.【过过关小练练】1.命题题“若p不正确，则则q不正确”的逆命题题的等价命题题是()A.若q正确，则则p不正确 B.若q不正确，则则p正确C.若p正确，则则q不正确 D.若p正确，则则q正确【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.2.已知命题题p：“若|a|=|b|，则则a=b”，则则命题题p及其逆命题题、否命题题、逆否命题题中，正确命题题的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p
7、的逆命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是2个.【归纳总结】1.对四种命题间关系的说明对于两个命题的条件和结论之间的关系，若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.2.等价命题的两个关注点(1)当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题.(2)由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题.类类
8、型一：四种命题题之间间的相互关系【典例1】(1)命题题“若函数y=f(x)是幂幂函数，则则它的图图象不过过第四象限”与命题题“若函数y=f(x)不是幂幂函数，则则它的图图象过过第四象限”的关系是_.(2)命题题“等底等高的两个三角形是全等三角形”与命题题“全等三角形是等底等高的两个三角形”的关系是_.(3)命题题“若ab，则则c-2ab，则则7a7b”的逆否命题题是“若7a7b，则则ab”.【解题指南】从条件和结论的关系上进行分析判断.【解析】“四条边相等的四边形是正方形”的否命题应为：“四条边不相等的四边形不是正方形”，说法错误；“若x2=9，则x=3”的否命题的逆否命题应为：“若x=3，则
9、x2=9”，说法错误；正确.答案：类型二：四种命题的真假性【典例2】(2014陕西高考)原命题为“若 nN*，则an为递减数列”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真、真、真 B.假、假、真C.真、真、假 D.假、假、假 【解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真；而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真.【延伸探究】若把本例中“若 a2a3”，其他条件不变变，则结则结 果如何？【解析】由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也
10、为真，而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真.【规规律总结总结 】判断四种命题题真假的两种方法(1)直接判断：利用命题题真假判断的方法判断.(2)等价转转化：由于互为为逆否命题题的真假具有等价性，因而在判断四种命题题的真假时时，可以转转化为为先判断原命题题和逆(否)命题题的真假，再利用互为为逆否命题题的真假具有等价性即可完成.【巩固训练训练 】已知命题题p：若a0，则则方程ax2+2x=0有解，则则其原命题题、否命题题、逆命题题及逆否命题题中真命题题的个数()A.4 B.2 C.1 D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题.【补偿训练补偿训练 】命题题“已知
11、a，b为为正实实数，若 则则ab”与它的逆命题题、否命题题、逆否命题这题这 四个命题题中，真命题题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选D.互为逆否的命题同真假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为正实数，若ab，则 ”，这个命题是真命题，故否命题也为真，从而有4个是真命题.类类型三：等价命题题的确定及应应用【典例3】判断命题题“已知a，x为实为实 数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，则则a0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真. 方法二：先判断原命题的
12、真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集，所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a 2.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.【延伸探究】1.(改变问变问 法)判断命题题“已知a，x为实为实 数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，则则a2”的逆命题题的真假.【解析】原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判断真假如下：抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，判别式=(2a+1)2
13、-4(a2+2)=4a-7，因为a2，所以4a-71，当01时抛物线与x轴有交点，当0的解集是R，则则a0的解集为R，且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a2且y3，则x+y5”，容易判断逆否命题为真，故原命题为真.答案：真2.证证明：已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR，若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则则a+b0.【证明】原命题的逆否命题为已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR，若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).若a+b0，则a-b，b-a，又因为f(x)在(-，+)上是增函数，所以f(a)f(-b)，f(b)f(-a)，所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，即逆否命题为真命题.所以原命题为真命题.
